OLS重回帰の予測間隔を計算する方法は？

重回帰の予測区間を計算する代数表記法は何ですか？

馬鹿げているように聞こえますが、この代数的表記を見つけるのに苦労しています。

multiple-regression least-squares prediction-interval

— マイケル
ソース

$N$ 観測値と $k$ ある回帰モデルを使用します。

y = バツ β + あなたは

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

ベクトル与えられると、その観測の予測値はこの予測の分散の一致推定量でありここで、特定の予測誤差あると間のゼロ共分散は、を、その一貫した推定量は $\mathbf{x_0}$

E [y | {バツ}_{0}] = {\hat{y}}_{0} = {バツ}_{0} \hat{β} 。

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot {バツ}_{0} \cdot （ {バツ}^{'} バツ ）^{- 1} {バツ}_{0}^{'} 、

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

s^{2} = \frac{Σ_{私 = 1}^{N} {\hat{あなたは}}_{私}^{2}}{N - k} 。

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$

y_{0}

$y_0$

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = {バツ}_{0} β + {あなたは}_{0} - {\hat{y}}_{0} 。

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [{あなたは}_{0}] 、

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot {バツ}_{0} \cdot （ {バツ}^{'} バツ ）^{- 1} {バツ}_{0}^{'} + s^{2} 。

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

区間は次のようになります間隔が広くなります。 $1-\alpha$ $\rm confidence$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} 。

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} 。

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— ディミトリイ・V・マスタロフ
ソース

上記の答えは非常によくできていますが、このソースは質問に何らかのコンテキストを提供するのに役立つと思います。

— 6月スキーター

@Dimitriy 2番目のeqnには上にキャロット/ハット「^」が必要だと思います。

β

$\beta$

— ドンスローウィック

予測誤差は残差ではありません：？

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— ドンスローウィック