ガウスRVの合計とガウス混合の関係

ガウスの合計がガウスであることを知っています。それでは、ガウス分布の混合物はどのように異なっていますか？

つまり、ガウス分布の混合は、ガウス分布の総和（各ガウス分布にそれぞれの混合係数を掛ける）だけですよね？

加重和ガウスランダム変数 あるガウス確率変数：もし 、次いで P Σ I = 1 β I X $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ β T（X 1、... 、XはP）〜N 1（β T μ 、β T Σ β $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

ガウスの混合物密度はガウスの加重和として与えられる密度有する密度：そのは、ほぼ常にガウス密度と等しくありません。たとえば、下の青い推定混合密度を参照してください（黄色の帯は推定混合の変動性の尺度です）。

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[出典：Marin and Robert、ベイジアンコア、2007年]

確率変数この密度を有する、ように表すことができる ここおよびは：$X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

そして、@ Xi'anの答えを補完するいくつかのRコードがあります。

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

独立したランダム変数の合計の分布は、その分布の畳み込みです。既に述べたように、2つのガウスの畳み込みはたまたまガウスです。

混合モデルの分布は、RVの分布の加重平均を実行します。（有限の）混合モデルからのサンプルは、コインを反転（またはダイローリング）から描画するためにその分布を決定することにより製造することができる：言う私は2つのRV有する、私はRVを生成するその分布の平均でありますとコインをフリップする場合、ます。尾を着地させる場合、ます。$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$