与えられた相関関係を持つ二項確率変数の生成

独立した二項確率変数を生成する方法を知っているとします。どのように生成することができる2つのランダム変数とように $X$ $Y$
$X \sim Bin (8, \frac{2}{3}), Y \sim Bin (18, \frac{2}{3}) and Corr (X, Y) = 0.5$ $X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$

とは独立しているという事実を使おうと考えましたが、が二項分布であるため、この方法は使用できません。これが機能した場合、2つの二項確率変数、たとえばと、とつまり、、ペア。しかし、は二項分布ではないためこれを行うことはできません。 $X$ $Y-\rho X$ $\rho=Corr(X,Y)$ $X-\rho Y$ $A$ $B$ $X=A$ $Y-\rho X=B$ $Y=B+\rho A$ $(X,Y)$ $Y-\rho X$

どのように進めればよいかについてのヒントをいただければ幸いです。

— ランドン・カーター
ソース

実はこの問題は学期の試験で出てきたので宿題ではありませんが、自習と言ってもいいと思います。タグを追加しました。

— Landon Carter

離散サポート分布では、相関の線形表現を使用できません。

二項分布の特殊なケースでは、表現を利用できますのいくつかをのいくつかと等しくなるように選択し、それ以外の場合は個別に生成すると、ここで、は、ベルヌーイとして生成されるのではなく、がと同じように選択されることを示します

X = \sum_{i = 1}^{8} δ_{i} Y = \sum_{i = 1}^{18} γ_{i} δ_{i}, γ_{i} \sim B (1, 2 / 3)

$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} cov (δ_{i}, γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) var (γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$

I (δ_{i} := γ_{j})

$\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

B (1, 2 / 3)

$\text{B}(1,2/3)$ 。

制約は、解決する必要がありますこれは、 8つののうちの6つを18ののうちの6つに等しいとすると、この相関は0.5になります。

cov (X, Y) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}

$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$

\sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} = 6

$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

実装は次のようになります。

生成、、。 $Z\sim\text{B}(6,2/3)$ $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$ $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$
および取ります $X=Z+Z_1$ $Y=Z+Y_1$

この結果はRシミュレーションで確認できます

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

コメント

これは、が完全な正方形であり、が整数であるためにのみ機能するという点で、問題に対するかなり人工的な解決策です。他の許容できる相関関係の場合、ランダム化が必要になります。つまり、はゼロまたは1で、確率はです。 $8\times 18$ $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ $\varrho$

補遺

問題は何年も前にベルヌーリスを共有するという同じアイデアでスタックオーバーフローで提案され、解決されました。

— 西安
ソース

+1。が正方形である必要はありません。 Binomialおよび Binomialこのメソッドを介して）解を持つCorの条件は、（1）および（ 2）は整数です。特定の負の場合、多項分布を使用すると解が得られます。より一般的ですが、より難しいアプローチは、コピュラを使用します。

8 \times 18

$8\times 18$

(X, Y) = ρ

$(X,Y)=\rho$

X \sim

$X\sim$

(n, p)

$(n,p)$

Y \sim

$Y\sim$

(m, q)

$(m,q)$

p = q

$p=q$

0 \leq ρ \sqrt{m n} \leq min (m, n)

$0\le \rho\sqrt{mn}\le \min(m,n)$

ρ

$\rho$

— whuber

@whuber：負の相関のために、最初にを使用することを考えが、明らかに機能しません。一般的なソリューションについて詳しく説明していただけますか？（コピュラについても考えましたが、正しい相関関係に到達するようにコピュラを調整することは厄介なことですよね！

1 - γ_{j}

$1-\gamma_j$

— 西安

西安、あなたが使用した方法が標準的な方法であるかどうかお伺いしたいと思います。これは、インターネットでたくさん検索して何も見つからなかったためです。

— ランドンカーター、

私はあなたに同意します-私はそれらのコピュラで働きたくないです！しかし、それらは少なくとも、最も一般的な設定では（他のパラメーターに応じて特定の範囲内に）ソリューションが存在する必要があることを示しています。ここで指定するような単純な構造を使用して、またはケースを処理できるかどうかを調べることは興味深いでしょう。Yedaynara：2つの変数をに分割する方法は追加で閉じたパラメトリックファミリの標準です。ここで行われているのはそれだけです。

ρ

$\rho$

p \neq q

$p\ne q$

ρ < 0

$\rho \lt 0$

X, Y

$X,Y$

X^{'} + Z, Y^{'} + Z

$X^\prime+Z, Y^\prime+Z$

— whuber

@yedaynara：「相関のある二項シミュレーション」をグーグル検索して「何も」を見つけられなかったことに驚き、Stack Overflowでこの投稿をすぐに見つけました。

— 西安