まだ同じファミリーのメンバーである2つのランダムな非法線の線形結合

2つのランダムな正規変数の線形結合もランダムな正規変数であることはよく知られています。この特性を共有する一般的な非正規分布ファミリ（たとえば、ワイブル）はありますか？多くの反例があるようです。たとえば、ユニフォームの線形結合は通常は均一ではありません。特に、次の両方が当てはまる非正規分布ファミリはありますか？

1. そのファミリーからの2つの確率変数の線形結合は、そのファミリーのある分布と同等です。
2. 結果のパラメーターは、元のパラメーターと線形結合の定数の関数として識別できます。

この線形結合に特に興味があります。

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

ここで、とはパラメーターと持ついくつかの非正規ファミリーからサンプリングされ、はパラメーター持つ同じ非正規ファミリーかられます。$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

ここでは、簡単にするために1つのパラメーターを持つ配布ファミリーについて説明しますが、複数のパラメーターを持つ配布ファミリーに開放的です。

また、とに十分なパラメータ空間があり、シミュレーションの目的で使用できる例を探しています。非常に特定のおよびで機能する例のみを見つけることができる場合、それはあまり役に立ちません。$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

2つのランダムな正規変数の線形結合もランダムな正規変数であることはよく知られています。この特性を共有する一般的な非正規分布ファミリ（たとえば、ワイブル）はありますか？

正規分布は、な畳み込み恒等式を満たします。たとえば、中心極限定理を参照している場合、同じ形状係数を持つガンマ分布はその特性を共有し、ガンマ分布になるようにたたみ込みます。中心極限定理の呼び出しに関する注意事項を参照してください。ただし、一般的に、形状係数が等しくない場合、ガンマ分布は、ガンマ分布ではなく、式1にあるような第1種の超幾何関数を乗算するガンマ関数である畳み込みによって「追加」されます。（2）/$X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$2つのガンマ分布のたたみ込み。追加のもう1つの定義、つまり無関係なプロセスの混合分布を形成することは、たとえば平均が異なる場合、必ずしも中心的な制限を示すとは限りません。

おそらく他の例があるでしょう、私は徹底的な検索を行っていません。畳み込みのためのクロージャーは、それほどフェッチされていないようです。線形結合の場合、ピアソンVIIとピアソンVIIの積は別のピアソンVIIです。

2つのランダムな正規変数の線形結合もランダムな正規変数であることはよく知られています。この特性を共有する一般的な非正規分布ファミリ（たとえば、ワイブル）はありますか？

Levy-stableディストリビューションのクラスを探しているようですね。これは、安定性プロパティを満たすすべての分布のクラスです。$\mathscr{P}$$\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

言い換えると、このクラスのすべての分布について、その分布を持つ2つの独立確率変数の線形関数を取る場合、その分布はその分布を持つ単一の確率変数のアフィン関数と同じ分布になります。（この安定性の要件は、厳密に安定した分布のサブクラスを提供する設定することで強化できることに注意してください。）$d=0$

レビ安定分布は、それ自体が分布のファミリーであると見なすことができます。この意味で、このプロパティは、このプロパティを持つすべての分布を包含するため、この安定性プロパティを持つ唯一の分布ファミリーです。正規分布は、コーシー分布、ランダウ分布、ホルツマーク分布と同様に、レビ安定分布のクラスに含まれます。