連続する値のペアの確率

できと独立している。 $X=(x_1, x_2,...x_{20})$ $x_i\sim N(0,1)$ $x_i, x_j$ $\forall i\neq j$

ような、少なくとも2つの連続する値とがあるサンプルを取得する確率はどのくらいですか？？ $X$ $x_i$ $x_{i+1}$ $\begin{cases} |x_{i}| & > & 1.5 \\ |x_{i+1}| & > & 1.5 \\ x_i x_{i+1} & < & 0 \end{cases}$

probability markov-chain

— will198
ソース

0

$0$ ？

| 1.5 | = 1.5

$|1.5|=1.5$ または、質問にタイプミスはありますか？二つの数がある確率

> 1.5

$>1.5$ とそれらの製品がある

< 0

$<0$ ある

0

$0$ 。

— ドミトリールバノビッチ2015

x_{i}, x_{i + 1} > | 1.5 |

$x_i, x_{i+1}>|1.5|$ つまり、

x_{i}, x_{i + 1} > 1.5

$x_i, x_{i+1}>1.5$ または

x_{i}, x_{i + 1} < - 1.5

$x_i, x_{i+1}< -1.5$ で、

x_{i} * x_{i + 1} < 0

$x_i*x_{i+1}<0$ 場合、1つの値が> 0で、もう1つの値が

ことを意味します。たとえば、

x_{i} = 1.8

$x_i=1.8$ および

x_{i + 1} = - 2

$x_{i+1}=-2$ 両方の条件に適合します。

— will198

最初の条件は次のとおりです

| x_{i} |, | x_{i + 1} | < 1.5

$|x_i|,|x_{i+1}|<1.5$ および2番目の条件は、

x_{i} * x_{i + 1} < 0

$x_i*x_{i+1}<0$

— will198

その後、それはタイプミスです。それは言うべきです

。

| x_{i} |, | x_{i + 1} | > 1.5

$|x_i|,|x_{i+1}|>1.5$

— ドミトリールバノビッチ2015

20個の変数はそれぞれ、約0.0668で1.5を超える可能性があり、同じ確率で-1.5未満である可能性があります。これにより、チェーンルールで解決できる離散（3値）変数に関する問題に問題が減ります。制限（1.5）と連続する変数の数（20）を入力として、このための関数をプログラムできる必要があります。R、SAS、またはjsの概念はありますか？

— Dirk Horsten、2015

マルコフ連鎖を実行します。

「フリップ」（インデックス）を、とが反対の符号で、両方のサイズがを超えるイベントとする。実現をスキャンしてフリップを探すと、標準の正規分布の対称性を利用して、4つの状態のみを持つプロセスを記述できます。 $i$ $X_{i-1}$ $X_{i}$ $1.5$ $(X_i)$

が観察される前のStart。 $X_1$
ゼロ、。 $-1.5 \le X_{i-1} \le 1.5$
1つ、どこ。 $|X_{i-1}| \gt 1.5$
反転、反転が発生します。 $i$

（混合）状態への遷移を開始

μ = (1 - 2 p, 2 p, 0)

$\mu = (1-2p, 2p, 0)$

（状態にある（可能性に対応するゼロ、一つ、反転））のでスタートが再び見たことがないている、のは、それをそれ以上を追跡するために、気にしないでみましょう。

p = Pr (X_{1} < - 1.5) = Pr (X_{1} > 1.5) \approx 0.0668072.

$p = \Pr(X_1 \lt -1.5) = \Pr(X_1 \gt 1.5) \approx 0.0668072.$

ゼロは確率 1に遷移し（場合）、それ以外の場合はゼロのままです。 $2p$ $|X_i|\gt 1.5$

一つに遷移裏返し確率で：これが発生、はの反対の符号を持っています。場合、確率 Oneに戻ります、符号はと同じです。それ以外の場合は、ゼロに移行します。 $p$ $|X_i| \gt 1.5$ $X_i$ $X_{i-1}$ $p$ $|X_i| \gt 1.5$ $X_i$ $X_{i-1}$

反転は吸収状態です。一度実行すると、の値に関係なく何も変化しません。 $X_i$

したがって、（Zero、One、Flipped）の遷移行列（一時的なStartを無視）は次のようになります。

P = (\begin{array}{ccc} 1 - 2 p & 2 p & 0 \\ 1 - 2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

$\mathbb{P} = \left( \begin{array}{ccc} 1-2 p & 2 p & 0 \\ 1-2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

開始状態を離れた後（および混合状態入った後）、フリップのスキャンで遷移が行われます。したがって、望ましい確率は、の3番目のエントリ（Flippedに対応） $\mu$ $20-1$

μ \cdot P^{20 - 1} \approx 0.149045.

$\mu \cdot \mathbb{P}^{20-1} \approx 0.149045.$

計算の詳細

を取得するために、行列乗算を行う必要はありません。代わりに、対角化した後 $18$ $\mathbb{P}^{19}$

P = Q^{- 1} E Q,

$\mathbb{P} = \mathbb{Q}^{-1} \mathbb{E} \mathbb{Q},$

指数（巨大なものであっても）の答えは、次のように1つの行列乗算で計算できます。 $n$

μ \cdot P^{n} = (μ \cdot Q^{- 1}) E^{n} Q

$\mu\cdot\mathbb{P}^n = \left(\mu\cdot\mathbb{Q}^{-1}\right) \mathbb{E}^n \mathbb{Q}$

と

μ \cdot Q^{- 1} = (1, \frac{- 4 p^{2} + p + 1 - \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}{2 \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}, - \frac{- 4 p^{2} + p + 1 + \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}{2 \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}),

$\mu \cdot \mathbb{Q}^{-1} = \left(1,\frac{-4 p^2+p+1-\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}},-\frac{-4 p^2+p+1+\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}}\right),$

Q = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{(1 + p + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}) (3 p - 1 + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1})}{8 p^{2}} & - \frac{1 + p + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}}{2 p} & 1 \\ \frac{(1 + p - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}) (3 p - 1 - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1})}{8 p^{2}} & - \frac{1 + p - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}}{2 p} & 1 \end{array})

$\mathbb{Q} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{\left(1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \frac{\left(1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \end{array} \right)$

そして

E^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {(\frac{1}{2} (1 - p - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}))}^{n} & 0 \\ 0 & 0 & {(\frac{1}{2} (1 - p + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}))}^{n} \end{array})

$\mathbb{E}^n = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n \\ \end{array} \right)$

100万回の反復シミュレーション（を使用R）は、この結果をサポートしています。その出力、

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

答え推定信頼区間が含ま。 $0.1488$ $[0.1477, 0.1499]$ $0.149045$

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results

— whuber
ソース

奇妙なことに、遷移行列の指数を取得するためにWhuberが利用した手法は、初等線形代数の教科書では「対角化」と呼ばれることがあります。

— Sycoraxは、モニカを2015