正規分布の組み合わせからの分位点

私は、さまざまな年齢の子供の人体寸法（肩幅など）の分布に関する情報を持っています。年齢と次元ごとに、平均、標準偏差があります。（8つの変位値もありますが、それらから必要なものを取得できるとは思いません。）

各次元について、長さ分布の特定の分位数を推定したいと思います。各次元が正規分布していると仮定した場合、平均と標準偏差を使用してこれを行うことができます。分布の特定の分位に関連付けられた値を取得するために使用できるきれいな式はありますか？

その逆は非常に簡単です。特定の値について、各正規分布（年齢）の値の右側の領域を取得します。結果を合計し、分布の数で割ります。

更新：同じ質問をグラフィカル形式で示します。各色付き分布が正規分布していると仮定します。

また、明らかに、さまざまな長さの束を試して、精度のために目的の分位点に十分に近い長さになるまで変更し続けることができます。これよりも良い方法があるかどうか疑問に思っています。そして、これが正しいアプローチである場合、その名前はありますか？

$w$

$$\frac{d^2 w}{d p^2} = w \left(\frac{d w}{d p}\right)^2$$

$w(1/2) = 0$$w'(1/2) = \sqrt{2 \pi}$

qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)

$p$$N(\mu, \sigma^2)$

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編集：問題の修正された理解により、データは法線の混合から生成されるため、観測データの密度は次のようになります。

$$p(x) = \sum_{i} w_{i} p_{i}(x)$$

$\sum_{i} w_{i} = 1$$p_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$

$$F(y) = \int_{-\infty}^{y} \sum_{i} w_{i} p_{i}(x) dx = \sum_{i} w_{i} \int_{-\infty}^{y} p_{i}(x) = \sum_{i} w_{i} F_{i}(y)$$

$F_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$$F^{-1}$

$F^{-1}$$w_{i}, \mu_{i}, \sigma_{i}$$p$

# evaluate the function at the point x, where the components 
# of the mixture have weights w, means stored in u, and std deviations
# stored in s - all must have the same length.
F = function(x,w,u,s) sum( w*pnorm(x,mean=u,sd=s) )

# provide an initial bracket for the quantile. default is c(-1000,1000). 
F_inv = function(p,w,u,s,br=c(-1000,1000))
{
   G = function(x) F(x,w,u,s) - p
   return( uniroot(G,br)$root ) 
}

#test 
# data is 50% N(0,1), 25% N(2,1), 20% N(5,1), 5% N(10,1)
X = c(rnorm(5000), rnorm(2500,mean=2,sd=1),rnorm(2000,mean=5,sd=1),rnorm(500,mean=10,sd=1))
quantile(X,.95)
    95% 
7.69205 
F_inv(.95,c(.5,.25,.2,.05),c(0,2,5,10),c(1,1,1,1))
[1] 7.745526

# data is 20% N(-5,1), 45% N(5,1), 30% N(10,1), 5% N(15,1)
X = c(rnorm(5000,mean=-5,sd=1), rnorm(2500,mean=5,sd=1),
      rnorm(2000,mean=10,sd=1), rnorm(500, mean=15,sd=1))
quantile(X,.95)
     95% 
12.69563 
F_inv(.95,c(.2,.45,.3,.05),c(-5,5,10,15),c(1,1,1,1))
[1] 12.81730