N正規iidの積の近似分布？特殊なケースμ≈0

与えられた IID、及び、探しているもの： $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

正確な閉形式分布近似 $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
同じ積の漸近（指数関数）近似

これは、より一般的な質問の特殊なケースです。 $\mu_X \approx 0$

— アンドレイ・ポゾロチン
ソース

1.あなたはについての情報持っていますか

及び

？（すべての場合、それはいいだろう

例えば、。）（2）漸近正規近似は次のようになります恐ろしい漸近ので、

リモートで正常に見えることはありません。

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

私はこれで簡単に遊びました。あなたが興味を持っている場合、製品の正確な閉形式解得ることが可能である

IIDれる確率変数

。ゼロ以外の

場合、事態はさらに複雑になります。

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— -wolfies

@whuber （1）いくつかの異なるといくつかのモンテカルロをやった後、

と

、私はその分布た

ためにかなりうまく動作します

と

。今私は素敵見つけたい表現のための

と

方法に似

いくつかの素敵な近似を持っています。テイラー展開を介していくつかの近似値を作成しましたが、それらの動作は不適切です。 （2）まあ、

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$ 間違いなくカイ二乗の法線の和のように「見える」ので、近似がそれを「証明」する場合、

は法線に還元できます。

F

$F$

— アンドレイポゾロチン

場合

、

うまく（のアプリケーションとして対数正規分布で近似されるバリー・Esseen定理する

番組）。

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

バリー-Esseenの直接適用@whuber与える

確かにいいですが、それはいくつかの構造を失い、：

負である必要があり、

に依存すべき

多分などは、それを適用するより良い方法があるのですか？

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— アンドレイポゾロチン

平均値がゼロの場合に正確な解を得ることができます（パートB）。

問題

ましょう示す IID 変数、共通のPDF各： $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

我々は、PDF求めるのために、 $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

解決

このような2つの法線の積のpdfは単純です：

... MathematicaのmathStaticaパッケージのTransformProduct関数を使用しています。サポートのドメインは次のとおりです。

3、4、5、6の法線の積は、同じ関数を繰り返し適用することで得られます（ここでは4回）。

...ここでMeijerG、Meijer G関数を示します

$n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{（ 2 π ）^{\frac{n}{2}} σ^{n}} メイジャー [{{} 、 {}} 、 {{0_{1} 、 \dots 、 0_{n}} 、 {}} 、 \frac{{バツ}^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] にとって バツ \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

クイックモンテカルロチェック

比較する簡単なチェックを次に示します。

$n = 6$ $\sigma=3$
経験的モンテカルロpdfへ：波打つ青い曲線

元気そう！[青い波線のモンテ曲線は、正確な赤破線の曲線を覆い隠しています]

— オオカミ
ソース

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$