ランダムウォークは正確に何をしますか？

正直なところ、私はこの質問に関する多くのWebサイトと回答を読みましたが、理解しやすい簡単な言葉では説明していません。私がしたいのは、ランダムウォークの機能と、それを遺伝子セット濃縮分析にどのように使用できるかを理解することです。

ここに公開された論文があります。

誰かがそれを簡単な言葉で説明できますか？

最初の質問に答えようと思います

ランダムウォークは一連の測定値であり、一連の任意のポイントの値は、一連の前のポイントの値にランダムな数量を加えたものです。

たとえば、一連のトスで公正なコインを裏返して、コインが表に出るたびにシリアル変数の前の値に1を加え、コインが上に上がるたびに前の値から1を引くとします。シリアル変数の。開始値が0で、次の一連のコイントスを反転した場合：

T H T T T H H H T T H T H T H

$y$

0 -1 0 -1 -2 -3 -2 -3 -1 -2 -2 -1 -2 -1 -2 -1

$y$

の分布は時間に依存し、さまざまな時間にわたってサンプルにいくつかの興味深い特性を与えます。t $y$$t$$y$

1. 平均の定義されていません。$y$バランスのとれたコインの表と裏がゼロを中心とすることが予想されるため、これは直観に反するように見えるかもしれません。これはそれだけでは当てはまりますが、ゼロは単に任意の開始値でした。だから、本当の意味はありません！y$y$

2. 分散の。$y=t$時間（フリップの数）が増加すると、分散も増加します。例えば、第1のフリップフロッ（AT）、可能な値は又は、実際の分散は、その後、1である。しかし、第2のフリップフロッで（）の可能な値は、又は、および分散は、フリップの無限数について2に等しい（ですべての可能な値の範囲、から行くへ）、分散が無限大です。1 - 1 、T = 2 2 0 - 2 T = ∞ Y - ∞ $t=1$$1$$-1$$t=2$$2$$0$$-2$$t=\infty$$y$$-\infty$$\infty$

これらの2つの事実は、統計的推論の基本的なツールを使用する場合にサンプルのみが与えられた場合、の分布について（特定のではなく）推論を引き出そうとすることを混乱させます。（有限のは未定義と推定できますか？有限どのようにと推定できますか？）Y のT Y 0 ˉ Y S 2 Y σ 2 、Y = $y$$y_{t}$$y_{0}$$\bar{y}$$s^{2}_{y}$$\sigma^{2}_{y}=\infty$

ランダムウォークには多くの種類があり、より一般的には、自動漸進的なプロセス（つまり、以前の値に何らかの形で依存する変数）があります。ここの例では、単純なベルヌーイ確率変数（コイン投げ）を使用していますが、次のことができます。

• 代わりに、正規分布のランダム値を連続する値に追加してください...または、実際、あらゆる種類の分布から抽出されたランダム値。$y$
• 値作るある時点での以前の値に依存する例えば（時間内の複数の点から）;y y t = y t − 1 + y t − 2 + $y$$y$$y_{t} = y_{t-1} + y_{t-2} + \text{Something Random}$
• 値ペアのランダム値での二次元ランダムウォークを作成します。$y$$x$
• メイク一部空想の機能の、簡単な例は、、、つまり特定の瞬間の記憶は時間とともに減衰する（記憶はが1に近いほど長く続く）— Alecosのコメントによれば、これは単に「自己回帰」（純粋なランダムウォーク）になるを持つことになります）;、Y T - 1つの Y T = α yのT - 1 + 何かランダム| α | < 1つのY | α | | α | = $y_{t}$$y_{t-1}$$y_{t} = \alpha y_{t-1} + \text{Something Random}$$|\alpha| < 1$$y$ $|\alpha|$$|\alpha|=1$
• ランダムウォークや自己回帰プロセスをより複雑にするために、他にもたくさんのことをします。

しかし、彼らはすべて、基本的な方法を使用して試して分析するディケンズです。これが、これらの種類のデータ（他のラベルの中で「非統合」、「長期記憶」、または「単位根」と呼ばれることもある）を扱うための共積分回帰とエラー修正モデルおよびその他の時系列分析手法がある理由です、詳細によって異なります）。

「ランダムウォーク」という言葉の起源は、1905年にネイチャーに送信された非常に短い手紙のペアからです。

参考文献
ピアソン、K（1905）。編集者への手紙：ランダムウォークの問題。自然、72（1865）：294。

ピアソン、K。（1905）。編集者への手紙：ランダムウォークの問題。自然、72（1867）：342。