有界区間上のすべての連続単峰分布におけるの最小値はいくつですか？

有界間隔すべての分布は、以下を満たします。 $[0,1]$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$

ここで、は平均、は分散です。 $\mu$ $\sigma^2$

ここで、分布が最大で1つの極大値を持つという意味で、分布が単峰性であると仮定します。次の比率が持つことができる最小値は何ですか：

\frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} ?

$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$

variance

— べっこ
ソース

...最初の方程式は、比率を1より小さくすることはできないことを意味します。どの分布が1に等しくなるかを尋ねていますか？

— user603 2015年

でベルヌーイを見てみましょう。これらの種類の極値問題の解決策が離散的で、ほんの数点であるのは非常に一般的です。あなたはいくつかの「本の仕事」のような投稿をしたようです。この作品のいずれかが対象のためにありますか？

(p)

$(p)$

μ = p

$\mu=p$

— Glen_b-2015

@Glen_b質問は、単峰分布を要求しますが、これは、連続的に汚されたバージョンのベルヌーイではそうではありません。

— Dougal

の均一分布は3の値を与えます。ベータ分布はを与え、、場合のみ単峰性であり、したがって3（それも均一の場合）です。私は他のいくつかの名前付き分布ファミリー（ここから）を試してみましたが、3を超える値は得られませんでした。また、ポイント間で線形補間を行うことで最適化問題として書き始めましたが、ハード最適化問題のように見え、実際に停止しましたコーディングして試してみてください。

[0, 1]

$[0, 1]$

α + β + 1

$\alpha + \beta + 1$

α > 1

$\alpha > 1$

β > 1

$\beta > 1$

— Dougal 2015年

math.SEで同時に尋ねられ、すでに2つの回答を受け取っています（その1つはOPが無作法であると認められたため、作成者によって削除されました）。

— Dilip Sarwate、2015年

最小値は存在しません。ただし、限界はあります。それは、

上で定義された単峰分布の分散のsupremum平均有するである（）又は（）。 $[0,1]$ $\mu$ $\mu(2 - 3\mu)/3$ $0 \le \mu \le 1/2$ $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ $1/2\le \mu \le 1$

上限は、密度関数はありませんが、（一般的な意味で）「ユニモーダル」と見なすことができる分布によって実際に達成されます。それに原子を有するであろう（場合）または、原子（とき）それ以外は均一です。 $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$

議論をスケッチします。線形汎関数を最適化するように求められます

L_{x^{2}} : D [0, 1] \to R

$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$

種々の等式と不等式制約を受ける、間隔で（符号付き）措置のセットである。微分可能なおよび任意の連続関数の場合、定義 $D[0,1]$ $[0,1]$ $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ $g:[0,1]\to\mathbb{R}$

L_{g} [F] = \int_{0}^{1} g (x) d F (x),

$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$

そしてを連続性によってすべてに拡張します。 $\mathcal{L}$ $D[0,1]$

等式制約は

L_{1} [F] = 1

$\mathcal{L}_1[F] = 1$

そして

L_{x} [F] = μ .

$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$

不等式の制約は、

f (x) \geq 0

$f(x) \ge 0$

そして、すべてのおよびすべてのに対して、次のような（「モード」）が存在し、 $\lambda \in [0,1]$ $0\le x \le y \le \lambda$ $\lambda \le y \le x \le 1$

f (x) \leq f (y) .

$f(x) \le f(y).$

これらの制約は、決定凸ドメインその上に最適化されるべきです。 $\mathcal{X}\subset D[0,1]$ $\mathcal{L}_{x^2}$

有限次元空間での線形プログラムと同様に、の極値は頂点で得られます。これらは明らかに、ルベーグ測度に関して完全に連続であり、区分的に一定である測度です。なぜなら、頂点はほとんどすべての不等式が等式になる場所であり、それらの不等式のほとんどはの単峰性に関連している（増加しないテール動作）。 $\mathcal{L}_g$ $\mathcal{X}$ $F$

2つの等式制約を満たすためには、のグラフに1つのブレークのみ、たとえばます。間隔で一定の値せるであることとに一定の値である、等式制約利回りに基づいて簡単な計算を $f$ $0\lt \lambda \lt 1$ $[0,\lambda)$ $a$ $(\lambda, 1]$ $b$

a = \frac{1 + λ - 2 μ}{λ}, b = \frac{2 μ - λ}{1 - λ} .

$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$

$図1：典型的な$ f _ {（\ lambda、\ mu）} $のプロット。$

この図はすべてを物語っています。それは、平均の局所的に一定な分布関数をグラフ化し、最大でで1つのブレークを持ちます。（のプロット用これの逆のように見えます。） $\mu$ $\lambda$ $f_{(\lambda,\mu)}$ $\mu \gt 1/2$

そのような測度での値（私はを示し、分布の密度）は同様に容易に計算されます $\mathcal{L}_{x^2}$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F_{(\lambda, \mu)}$

L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} (2 μ + (2 μ - 1) λ) .

$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$

この式は線形で、それはで最大となる暗示（場合）、（とき）、または任意の値に（場合）。ただし、場合を除いて、測度の制限値は連続しなくなりました。対応する分布またははまたはジャンプの不連続性があります（両方ではありません）。 $\lambda$ $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$ $\mu = 1/2$ $\mu=1/2$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ $0$ $1$

$図2：$ \ mu = 2/5 $の最適な$ F $のプロット。$

この図は、平均の最適をグラフ化したものです。 $F$ $\mu \approx 2/5$

いずれにしても、最適値は

σ_{μ}^{2} = sup_{λ} L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} μ (2 - 3 μ) .

$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$

したがって、のinfimumのための IS $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ $0\le \mu \lt 1/2$

μ (1 - μ) / σ_{μ}^{2} = \frac{3 - 3 μ}{2 - 3 μ},

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$

匹敵する発現を有する場合（置き換えたすることにより）。 $1/2\lt \mu \le 1$ $\mu$ $1-\mu$

$図3：$ \ mu $に対する最小値のプロット$

この図は、上限対プロットしています。 $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ $\mu$

— whuber
ソース

これは素晴らしい答えだと思います。それは教科書や紙に基づいていますか？このようなより多くの結果を持つリファレンスはありますか？

— becko

@beckoありがとうございます。お手伝いできればいいのですが、これは独自の解決策です。私は分布の不平等の専門家ではないので、他のそのような結果をどこから探し始めるのかわかりません。

— whuber