Rを使用して相関が所定の値に等しいという仮説をテストする方法は？

2つのベクトルの相関が特定の数値、たとえば0.75に等しいという仮説をテストする関数はありますか？cor.testを使用すると、cor = 0をテストでき、0.75が信頼区間内にあるかどうかを確認できます。しかし、cor = 0.75のp値を計算する関数はありますか？

x <- rnorm(10)
y <- x+rnorm(10)
cor.test(x, y)

分散安定化フィッシャーのatan変換を使用すると、次のようにp値を取得できます。

pnorm( 0.5 * log( (1+r)/(1-r) ), mean = 0.5 * log( (1+0.75)/(1-0.75) ), sd = 1/sqrt(n-3) )

または興味のある片側/両側のp値の任意のバージョン。明らかに、これへの入力としてサンプルサイズnとサンプル相関係数が必要rです。

rhoの周りのr_hatの分布は、Xu CuiのWebページで Matlabコードから適応されたこのR関数によって与えられます。これを、サンプルサイズが「n」で仮想の真の値が「ro」の場合、観測値「r」がありそうもない確率の推定値に変換することはそれほど難しくありません。

corrdist <- function (r, ro, n) {
        y = (n-2) * gamma(n-1) * (1-ro^2)^((n-1)/2) * (1-r^2)^((n-4)/2)
        y = y/ (sqrt(2*pi) * gamma(n-1/2) * (1-ro*r)^(n-3/2))
        y = y* (1+ 1/4*(ro*r+1)/(2*n-1) + 9/16*(ro*r+1)^2 / (2*n-1)/(2*n+1)) }

次に、この関数を使用して、0.75のnull rhoの分布をプロットし、r_hatが0.6未満になる確率を計算して、プロット上のその領域をシェーディングします。

 plot(seq(-1,1,.01), corrdist( seq(-1,1,.01), 0.75, 10) ,type="l")
 integrate(corrdist, lower=-1, upper=0.6, ro=0.75, n=10)
# 0.1819533 with absolute error < 2e-09
 polygon(x=c(seq(-1,0.6, length=100), 0.6, 0), 
         y=c(sapply(seq(-1,0.6, length=100), 
         corrdist, ro=0.75, n=10), 0,0), col="grey")

フィッシャーの変形ほど正確ではないかもしれませんが、より直感的である可能性がある（そして統計的有意性に加えて実際的な有意性についてのアイデアを与えることができる）別のアプローチは視覚テストです：

 Buja, A., Cook, D. Hofmann, H., Lawrence, M. Lee, E.-K., Swayne,
 D.F and Wickham, H. (2009) Statistical Inference for exploratory
 data analysis and model diagnostics Phil. Trans. R. Soc. A 2009
 367, 4361-4383 doi: 10.1098/rsta.2009.0120

R vis.testのTeachingDemosパッケージの関数には、この実装が含まれています。例として実行するには、次の方法があります。

vt.scattercor <- function(x,y,r,...,orig=TRUE)
{
    require('MASS')
    par(mar=c(2.5,2.5,1,1)+0.1)
    if(orig) {
        plot(x,y, xlab="", ylab="", ...)
    } else {
        mu <- c(mean(x), mean(y))
        var <- var( cbind(x,y) )
        var[ rbind( 1:2, 2:1 ) ] <- r * sqrt(var[1,1]*var[2,2])
        tmp <- mvrnorm( length(x), mu, var )
        plot( tmp[,1], tmp[,2], xlab="", ylab="", ...)
    }
}

test1 <- mvrnorm(100, c(0,0), rbind( c(1,.75), c(.75,1) ) )
test2 <- mvrnorm(100, c(0,0), rbind( c(1,.5), c(.5,1) ) )

vis.test( test1[,1], test1[,2], r=0.75, FUN=vt.scattercor )
vis.test( test2[,1], test2[,2], r=0.75, FUN=vt.scattercor )

もちろん、実際のデータが正常でない場合や、関係が線形でない場合は、上記のコードで簡単に特定できます。これらを同時にテストする場合は、上記のコードでそれを行うか、上記のコードを適合させてデータの性質をより適切に表すことができます。