ランダム自動相関バイナリ時系列データを生成する方法は？

次のようなバイナリ時系列を生成するにはどうすればよいですか？

1. 1を観測する平均確率が指定されています（5％など）。
2. 値を与えられた時点 1を観測する条件付き確率（値が1の場合、30％と言います）？$t$$t-1$$t-1$

2状態のマルコフ連鎖を使用します。

状態が0および1と呼ばれる場合、チェーンは状態間の遷移確率を与える2x2行列表すことができます。ここで、は状態から状態に移動する確率です。このマトリックスでは、各行の合計は1.0になります。$P$$P_{ij}$$i$$j$

ステートメント2から、となり、単純保存はと言います。$P_{11} = 0.3$$P_{10} = 0.7$

ステートメント1から、長期確率（平衡状態または定常状態とも呼ばれます）をます。これは言う 解決を与えると遷移行列$P_1 = 0.05$

（遷移行列を正確にチェックするには、それを高出力に上げます（この場合は14がジョブを実行します）。結果の各行は同一の定常状態確率を与えます）

乱数プログラムで、状態0または1をランダムに選択することから始めます。これにより、使用しているPの行が選択され$P$ます。次に、一様乱数を使用して、次の状態を決定します。その数を吐き出し、すすぎ、必要に応じて繰り返します。

Rで@Mike Andersonの回答をコーディングするときにひびが入りました。sapplyを使用してそれを行う方法がわからなかったため、ループを使用しました。より興味深い結果を得るために問題を少し変更し、「A」と「B」を使用して状態を表しました。どう考えているか教えてください。

set.seed(1234)
TransitionMatrix <- data.frame(A=c(0.9,0.7),B=c(0.1,0.3),row.names=c('A','B'))
Series <- c('A',rep(NA,99))
i <- 2
while (i <= length(Series)) {
    Series[i] <- ifelse(TransitionMatrix[Series[i-1],'A']>=runif(1),'A','B')
    i <- i+1
}
Series <- ifelse(Series=='A',1,0)
> Series
  [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 [75] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

/編集：ポールのコメントに応えて、ここにもっとエレガントな定式化があります

set.seed(1234)

createSeries <- function(n, TransitionMatrix){
  stopifnot(is.matrix(TransitionMatrix))
  stopifnot(n>0)

  Series <- c(1,rep(NA,n-1))
  random <- runif(n-1)
  for (i in 2:length(Series)){
    Series[i] <- TransitionMatrix[Series[i-1]+1,1] >= random[i-1]
  }

  return(Series)
}

createSeries(100, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))

Rを学んだばかりのときに元のコードを書いたので、少し余裕を取りました。;-)

与えられたシリーズで遷移行列を推定する方法は次のとおりです。

Series <- createSeries(100000, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))
estimateTransMatrix <- function(Series){
  require(quantmod)
  out <- table(Lag(Series), Series)
  return(out/rowSums(out))
}
estimateTransMatrix(Series)

   Series
            0         1
  0 0.1005085 0.8994915
  1 0.2994029 0.7005971

順序は元の遷移行列と交換されますが、正しい確率が得られます。

これは、markovchainより複雑な依存構造に一般化できるパッケージに基づく回答です。

library(markovchain)
library(dplyr)

# define the states
states_excitation = c("steady", "excited")

# transition probability matrix
tpm_excitation = matrix(
  data = c(0.2, 0.8, 0.2, 0.8), 
  byrow = TRUE, 
  nrow = 2,
  dimnames = list(states_excitation, states_excitation)
)

# markovchain object
mc_excitation = new(
  "markovchain",
  states = states_excitation,
  transitionMatrix = tpm_excitation,
  name = "Excitation Transition Model"
)

# simulate
df_excitation = data_frame(
  datetime = seq.POSIXt(as.POSIXct("01-01-2016 00:00:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), 
                        as.POSIXct("01-01-2016 23:59:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), by = "min"),
  excitation = rmarkovchain(n = 1440, mc_excitation))

# plot
df_excitation %>% 
  ggplot(aes(x = datetime, y = as.numeric(factor(excitation)))) + 
  geom_step(stat = "identity") + 
  theme_bw() + 
  scale_y_discrete(name = "State", breaks = c(1, 2), 
                   labels = states_excitation)

これにより、次のことが可能になります。

私はこのアプローチが説明された論文を見失いましたが、ここに行きます。

遷移行列を分解して

$1-p_t$$p_t$$p_0$

$p_t$$T_{11}$$T_{11} = (1-p_t)+p_t(1-p_0)$

この分解の有用な機能の1つは、高次元の問題における相関マルコフモデルのクラスに非常に簡単に一般化できることです。