LOESSの予測間隔の計算方法

RのLOESSモデルを使用して適合させたデータがあり、これを提供します。

データには1つの予測子と1つの応答があり、不均一です。

信頼区間も追加しました。問題は、区間がラインの信頼区間であるのに対して、予測区間に興味があることです。たとえば、下部パネルは上部パネルよりも可変性がありますが、これは間隔でキャプチャされません。

この質問はやや関連しています： 多項式回帰からの信頼帯、特に@AndyWによる答えを理解しますが、彼の例では、にinterval="predict"存在する比較的単純な引数を使用していますがpredict.lm、にはありませんpredict.loess。

したがって、非常に関連する2つの質問があります。

1. LOESSのポイントごとの予測間隔を取得するにはどうすればよいですか？
2. その間隔をキャプチャする値をどのように予測できますか？つまり、最終的に元のデータのように見える一連の乱数を生成できますか？

LOESSを必要とせず、他の何かを使用する必要がある可能性がありますが、自分のオプションに慣れていません。基本的には、ローカル回帰または多重線形回帰を使用してラインに適合し、ラインのエラー推定値に加えて、さまざまな説明変数のさまざまな分散も提供するため、特定のx値で応答変数（y）の分布を予測できます。

元のloess関数で予測バンドを実行する方法がわかりませんが、それを実行する関数がパッケージloess.sdにありmsirます！msirドキュメントからほぼ逐語的：

library(msir)
data(cars)
# Calculates and plots a 1.96 * SD prediction band, that is,
# a 95% prediction band
l <- loess.sd(cars, nsigma = 1.96)
plot(cars, main = "loess.sd(cars)", col="red", pch=19)
lines(l$x, l$y)
lines(l$x, l$upper, lty=2)
lines(l$x, l$lower, lty=2)

2番目の質問はloess.sd予測関数が付属していないため少し複雑ですが、予測された平均値とSDを線形補間することで、ハッキングできますloess.sd（を使用approx）。次に、これらを使用して、予測平均とSDを使用した正規分布を使用してデータをシミュレートできます。

# Simulate x data uniformly and y data acording to the loess fit
sim_x <- runif(100, min(cars[,1]), max(cars[,1]))
pred_mean <- approx(l$x, l$y, xout = sim_x)$y
pred_sd <- approx(l$x, l$sd, xout = sim_x)$y
sim_y <- rnorm(100, pred_mean, pred_sd) 

# Plots 95% prediction bands with simulated data 
plot(cars, main = "loess.sd(cars)", col="red", pch=19)
points(sim_x, sim_y, col="blue")
lines(l$x, l$y)
lines(l$x, l$upper, lty=2)
lines(l$x, l$lower, lty=2)