相関ランダム変数を生成する式はどのように機能しますか？

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2つの通常の非相関ランダム変数場合、次の式で2つの相関ランダム変数を作成できます。 $X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

そして、はと相関持ちます。 $Y$ $\rho$ $X_1$

誰かがこの式の由来を説明できますか？

correlation normal-distribution covariance

— ランザ
ソース

1

stats.stackexchange.com/a/71303での私の回答には、この問題と関連する問題に関する広範な議論が掲載されています。特に、（1）Normalityの仮定は無関係であり、（2）追加の仮定を行う必要があることをしますと相関がになるためには、と分散が等しくなければなりません。

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X_{1}

$X_1$

ρ

$\rho$

— whuber

非常に興味深いリンク。正常性が無関係であることの意味を理解していない。場合または正常ではない、それはの密度を制御しにくくなるカイザー-ディックマンアルゴリズムによって。（例えば、Headrick、2002; Ruscio＆Kaczetow、2008;ヴェイル＆Maurelli、1983）これは特殊なアルゴリズム非正規相関データを生成するための全体の理由です。たとえば、あなたの目標は生成することであると想像

〜通常、

〜制服を、

= .5で。

を使用すると、

は均一ではなくなります（

は通常と均一の線形結合になります）。

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

ρ

$\rho$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

Y

$Y$

— アンソニー

@Anthonyこの質問では、純粋に1次モーメントと2次モーメントの関数である相関についてのみ質問します。答えは、分布の他のプロパティに依存しません。あなたが議論しているのは、まったく異なる主題です。

— whuber

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次のようなと線形結合を見つけたいとします $X_1$ $X_2$

corr (α X_{1} + β X_{2}, X_{1}) = ρ

$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$

と両方に同じ（ゼロ以外の）定数を掛けても、相関は変わらないことに注意してください。したがって、分散を維持するための条件を追加します。 $\alpha$ $\beta$ $\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

これは次と同等です

ρ = \frac{cov (α X_{1} + β X_{2}, X_{1})}{\sqrt{var (α X_{1} + β X_{2}) var (X_{1})}} = \frac{α \overset{= var （ {バツ}_{1} ）}{\overset{⏞}{cov （ X_{1} 、 {バツ}_{1} ）}} + \overset{= 0}{\overset{⏞}{β cov （ {バツ}_{2} 、 {バツ}_{1} ）}}}{\sqrt{var （ α {バツ}_{1} + β {バツ}_{2} ） var （ {バツ}_{1} ）}} = α \sqrt{\frac{var （ {バツ}_{1} ）}{α^{2} var （ {バツ}_{1} ） + β^{2} var （ {バツ}_{2} ）}}

$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$

両方の確率変数の分散が同じであると仮定すると（これは重要な仮定です！）（）、 $\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

ρ \sqrt{α^{2} + β^{2}} = α

$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$

この方程式には多くの解決策がありますので、分散を維持する条件を思い出してください。

var （ {バツ}_{1} ） = var （ α {バツ}_{1} + β {バツ}_{2} ） = α^{2} var （ {バツ}_{1} ） + β^{2} var （ {バツ}_{2} ） \Rightarrow α^{2} + β^{2} = 1

$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$

そして、これは私たちを導く

α = ρ β = \pm \sqrt{1 - ρ^{2}}

$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$

UPD。2番目の質問について：はい、これはホワイトニングとして知られています。

— アルテム・ソボレフ
ソース

9

方程式は、コレスキー分解の簡略化された二変量形式です。この単純化された方程式は、Kaiser-Dickmanアルゴリズムと呼ばれることもあります（Kaiser＆Dickman、1962）。

このアルゴリズムが適切に機能するには、と分散が同じでなければならないことに注意してください。また、アルゴリズムは通常、通常の変数で使用されます。場合はや正常でない、同じ分布の形がない場合があります。 $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $Y$ $X_2$

参照：

Kaiser、HF、Dickman、K。（1962）。任意の母集団相関行列からのサンプルおよび母集団スコア行列とサンプル相関行列。Psychometrika、27（2）、179-182。

— アンソニー
ソース

2

標準化された正規変数は必要ないと思います。同じ分散があれば十分です。

— アルテムソボレフ

2

いいえ、の分布

ありません混合あなたが主張するような分布。

Y

$Y$

— ディリップサルワテ

要点、@ Dilip Sarwate。

または

いずれかが非正規の場合、

は2つの変数の線形結合になり、目的の分布にならない場合があります。これが、非正規相関データを生成するための（Kaiser-Dickmanではなく）特殊なアルゴリズムの理由です。

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

— アンソニー

3

$\cos$ $n^{th}$ $n^{th}$ $\cos\theta$ $sin\theta$ $X_1,X_2$
$\rho = cos \theta$ $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$

$X_1, X_2$

— ドミトリー・ルバノビッチ
ソース

2

当サイトへようこそ！を使用して数式をマークアップすると、投稿がより注目されると思います

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$\TeX$