ほぼ確実な収束は完全な収束を意味するものではない

すべての場合は完全に収束すると言い。 $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

ボレル・カンテッリの補題は、完全な収束がほぼ確実な収束を意味することを証明するのは簡単です。

ボレルカンテッリでは収束を証明できない場合の例を探しています。これはほぼ完全にではなく確実に収束する一連の確率変数です。

probability convergence

— マヌエル
ソース

ましょうボレルシグマ代数とで均一な尺度。定義する $\Omega=(0,1)$ $\mathfrak{F}$ $\mu$

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

そしてそう。明らか確率空間上で測定可能である。 $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

以下のための任意のと全それは場合である。したがって、定義により、シーケンスは収束し（ほぼ確実ではありません！）。 $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

ただし、場合は常に、、 $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

分岐します。 $\infty$

— whuber
ソース

どうもありがとう！。2つのコメント、代わりにを定義する理由はあり？次に、にすべきですか？

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— マヌエル

1.正当な理由はありません。これをじっくりと考えていたとき、私は用語をそのような点では収束しないかもしれないことを思い出させるために使用しました。2. おかげで誤字を修正しました。

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

ある独立しましたか？彼らは私には、第二ボレル・カンテッリ補題によって収束がほとんど確実ではないことを意味するように思えます。

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrrそうすれば、が独立していないことを示すのに問題はないはずです。

X_{n}

$X_n$

— whuber