ベイジアンA / Bテストの式が意味をなさない

ベイジアン手法を使用してABテストの結果を計算するために、ベイジアンabテストの式を使用しています。

どこ

• 1プラス Aの成功数$\alpha_A$
• 1プラス Aの失敗数$\beta_A$
• 1プラス Bの成功数$\alpha_B$
• 1プラス Bの失敗数$\beta_B$
• はベータ関数です$B$

データの例：

control: 1000 trials with 78 successes
test: 1000 trials with 100 successes

標準的な非ベイジアンプロップテストでは、重要な結果が得られます（p <10％）：

prop.test(n=c(1000,1000), x=c(100,78), correct=F)

#   2-sample test for equality of proportions without continuity correction
# 
# data:  c(100, 78) out of c(1000, 1000)
# X-squared = 2.9847, df = 1, p-value = 0.08405
# alternative hypothesis: two.sided
# 95 percent confidence interval:
#  -0.0029398  0.0469398
# sample estimates:
# prop 1 prop 2 
#  0.100  0.078 

ベイズの公式を（リンクの説明を使用して）実装したところ、非常に奇妙な結果が得られました。

# success control+1
a_control <- 78+1
# failures control+1
b_control <- 1000-78+1
# success control+1
a_test <- 100+1
# failures control+1
b_test <- 1000-100+1

is_control_better <- 0
for (i in 0:(a_test-1) ) {
  is_control_better <- is_control_better+beta(a_control+i,b_control+b_test) / 
                       (b_test+i)*beta(1+i,b_test)*beta(a_control,b_control)

}

round(is_control_better, 4)
# [1] 0

$P(TEST > CONTROL)$$0$

誰かが明確にできますか？

あなたが引用するサイトには通知があります

ベータ関数は非常に大きな数を生成するため、プログラムで無限の値を取得する場合は、上記のコードのように、必ず対数で処理してください。標準ライブラリのログベータ関数はここで役立ちます。

だからあなたの実装は間違っています。以下に、修正したコードを示します。

a_A <- 78+1
b_A <- 1000-78+1
a_B <- 100+1
b_B <- 1000-100+1

total <- 0

for (i in 0:(a_B-1) ) {
  total <- total + exp(lbeta(a_A+i, b_B+b_A)
                       - log(b_B+i)
                       - lbeta(1+i, b_B)
                       - lbeta(a_A, b_A))

}

これは合計= 0.9576921を出力します。これは、「Bが長期的にAに勝つオッズ」（リンクを引用）です。この例ではBの比率が高いため、有効に聞こえます。したがって、これはp値ではなく、BがAより大きい確率です（<0.05であるとは期待していません）。

簡単なシミュレーションを実行して結果を確認できます。

set.seed(123)

# does Binomial distributions with proportions
# from your data give similar estimates?

mean(rbinom(n, 1000, a_B/1000)>rbinom(n, 1000, a_A/1000))

# and does values simulated in a similar fashion to
# the model yield similar results?

fun2 <- function(n=1000) {
  pA <- rbeta(1, a_A, b_A)
  pB <- rbeta(1, a_B, b_B)
  mean(rbinom(n, 1000, pB) > rbinom(n, 1000, pA))
}

summary(replicate(1000, fun2(1000)))

どちらの場合も、答えはイエスです。

コードについては、forループは不要であり、一般にRでは処理が遅くなることに注意してください。代わりにvapply、よりクリーンで少し高速なコードに使用できます。

fun <- function(i) exp(lbeta(a_A+i, b_B+b_A)
             - log(b_B+i)
             - lbeta(1+i, b_B)
             - lbeta(a_A, b_A))

sum(vapply(0:(a_B-1), fun, numeric(1)))