カルマンフィルターを使用した時系列の欠損値の推定

11

カルマンフィルターを使用して時系列データの欠損値を補完する方法に興味があります。連続するいくつかの時点が欠落している場合にも適用できますか？私はこのトピックについて多くを見つけることができません。説明、コメント、リンクは大歓迎です。

data-imputation kalman-filter

— GS9
ソース

この投稿に興味があるかもしれません。ARIMAモデルの状態空間表現に基づいて、カルマンフィルターによって欠損値を補完する例を示します。

— javlacalle 2015年

@javlacalleありがとう、私はすでにこの投稿を知っていて、それは具体的な実装の良い例です。しかし、私はむしろ理論的背景に興味があります。

— GS9 2015年

8

予備：カルマンフィルタリング：

カルマンフィルターは、次の形式の状態空間モデルを操作します（これを記述する方法はいくつかあります。これは、ダービンとコープマン（2012）に基づいた簡単な方法です。以下はすべて、この本に基づいています。優れています）：

\begin{aligned} y_{t} & = Z α_{t} + ε_{t} & ε_{t} \sim N (0, H) \\ α_{t_{1}} & = T α_{t} + η_{t} & η_{t} \sim N (0, Q) \\ α_{1} & \sim N (a_{1}, P_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$

$y_t$ $\alpha_t$

$\alpha_t$ $\alpha_t$ $\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$ $\alpha_t$ $t$

$y_t$ $\alpha_{t+1}$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} + K_{t} (y_{t} - Z α_{t}) \\ P_{t + 1} & = T P_{t} (T - K_{t} Z)^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$

$K_t$

$a_{t+1}$ $P_{t+1}$ $y_t$ $y_t$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} \\ P_{t + 1} & = T P_{t} T^{』} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$

$\alpha_t$ $\alpha_{t+1}$

$y_t$

データの補完：

$a_t, P_t$ $t = 1, 2, \dots, T$

{\hat{y}}_{t} = Z a_{t}

$\hat y_t = Z a_t$

参考として、Durbin and Koopman（2012）は優れています。セクション4.10では、欠落している観測について説明します。

ダービン、J。、およびクープマン、SJ（2012）。状態空間法による時系列分析（No. 38）。オックスフォード大学出版局。

— クフルトン
ソース

よりスムーズなソリューションを使用することは、補完するためにより意味があります（1つは既にすべての（欠落していない）データを持っているので、将来の値にも情報を使用しないのはなぜでしょうか）

— Juho Kokkala

0

javlacalleがコメントで指摘している投稿の例には、連続する欠落した時点が含まれています。計算された（標本内予測）値の周りの間隔にも興味があるかもしれません。その計算は、このState Spaceペーパーのセクション2.1に記載されています。

興味深いかもしれない別の論文はこれです。

— ウェイン
ソース