Rのカーネル密度推定の「pdf」の下の領域

Rの「密度」関数を使用してカーネル密度の推定を試みています。結果を解釈してさまざまなデータセットを比較するのは、曲線下の面積が必ずしも1であるとは限らないため、多少困難です。確率密度関数（pdf） には、面積。カーネル密度の推定値がpdfを報告すると仮定しています。私が使用していますintegrate.xyからsfsmisc曲線下面積を推定します。$\phi(x)$$\int_{-\infty}^\infty \phi(x) dx = 1$

> # generate some data
> xx<-rnorm(10000)
> # get density
> xy <- density(xx)
> # plot it
> plot(xy)

> # load the library
> library(sfsmisc)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000978
> # fair enough, area close to 1
> # use another bw
> xy <- density(xx,bw=.001)
> plot(xy)

> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 6.518703
> xy <- density(xx,bw=1)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000977
> plot(xy)

> xy <- density(xx,bw=1e-6)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 6507.451
> plot(xy)

曲線の下の領域は常に1であるべきではありませんか？狭い帯域幅が問題のようですが、テールに詳細などを表示したい場合があり、狭い帯域幅が必要です。

更新/回答：

$2^{20}$

> xy <- density(xx,n=2^15,bw=.001)
> plot(xy)

> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000015
> xy <- density(xx,n=2^20,bw=1e-6)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 2.812398

台形ルールのintegrate.xy()使用について考えてください。正規分布では、密度が凹である区間（-1,1）の曲線下の面積を過小評価し（したがって、線形補間は真の密度を下回ります）、他の場所では過大評価します（線形補間が進むにつれて）真の密度の上に）。後者の領域の方が大きいため（必要に応じて、レスベグ測定で）、台形規則は積分を過大評価する傾向があります。さて、より小さな帯域幅に移行すると、推定値のほとんどすべてが区分的に凸になり、データポイントに対応する多くの狭いスパイクとそれらの間の谷が生じます。それは台形の規則が特にひどく壊れるところです。

大丈夫です、あなたはそれをシフトとスケーリングを修正することができます; 密度が非負になるように最小数を追加し、面積全体が一致するように定数を全体に掛けます。これは簡単な方法です。

$L_2$$c$$\left[\phi(x)-c\right]^+$