上限、ここでおよび

$X$ はから値をとることができる離散確率変数です。以来凸関数であり、我々が導出するジェンセンの不等式を使用することができ、下部：結合上限を導出することは可能ですか？ $(0,1)$ $\varphi(x)=1/x$

E [\frac{1}{1 - バツ}] \geq \frac{1}{1 - E [バツ]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$

probability expected-value bounds

— マイク
ソース

Xの上限が下から1に近づくとどうなるかを考えます。次に、密度がゼロでない1を含む分布について考えます。ここで、1がゼロ以外の確率を持つ離散分布を考えます。いくつかの制限から始めることをお勧めします

— Glen_b -Monicaを再開する

この質問の一般化を確率変数

適用すると、期待値

すぐに答えを得ることができます。stats.stackexchange.com/questions/141766を参照してください。そこで提供される不平等は厳しいです。つまり、上限が達成可能です。

の上限が

未満の場合、有効な（無限の）上限が提供されます。

1 - X

$1-X$

1 - a

$1-a$

X

$X$

1

$1$

— whuber

上限はありません。

直感的に、がに近いシーケンスに沿って実質的なサポートを持っている場合、は、異なる（任意に大きい）期待値を持つ可能性があります。上限がないことを示すために必要なことは期待される期待値を実現するサポートと確率の組み合わせを見つけることだけです。以下は、そのような明示的に構築します。 $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

（後で選択）および（これも後で選択）と仮定します。レッツ値を取る確率で $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{ん} = 1 - λ ん^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

。その後

p_{ん} = \frac{ん^{- s}}{ζ （ s ）} 、

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E （ バツ ） = Σ_{ん = 1}^{\infty} p_{ん} a_{ん} = \frac{1}{ζ （ s ）} Σ_{ん = 1}^{\infty} ん^{- s} （ 1 - λ ん^{- s} ） = 1 - λ \frac{ζ （ 2 s ）}{ζ （ s ）} 。

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

$f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

ゼータ比の図

$\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

検討する

E （ \frac{1}{1 - バツ} ） = Σ_{ん = 1}^{\infty} p_{ん} \frac{ん^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ （ s ）} Σ_{ん = 1}^{\infty} 1。

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

合計は発散します。その結果、記載された条件と一致する上限はありません。

— whuber
ソース