測定できないイベントの確率

測度理論から、測定できないイベントがあること、つまり、それらがルベーグ測定可能ではないことがわかります。確率測度が定義されていない確率を持つイベントを何と呼びますか？そのような出来事についてどのような発言をしますか？

probability estimation

これは計算しません。たぶん私はコーヒーを必要とするか、私はこれを誤解しています。定義されていない測定関数と測定不可能なセットの間には違いがあります。質問が関数に関連している場合、それは単に関数が未定義であるポイントです。これは、定義された有効な確率測度である関数の可能性を排除するものではありません。

— イテレータ2011

選択の公理なしに非ルベーグ測定可能セットを確立できない場合、測定不可能な確率で特定のイベントが発生したかどうかを知るためにどのように提案しますか？

— Henry

@ヘンリー：OPは単に用語を指している場合があります。私がそのようなイベントをどのように参照するかについては、ダグラスアダムスの無限の確率ドライブを呼び出さなければなりませんでした。または、彼女は朝食の前に6つの不可能なことを信じることができるので、それをホワイトクイーン現象と呼びます。:)

— イテレータ2011

枢機卿が指摘したように、測定不可能なセットは確率論で非常に広く使用されています。van der Vaart 著の「弱い収束と経験的プロセス」の本は、非常に優れた紹介です。この本を読むには数学のかなりの背景が必要ですが、提示された理論は私の意見では美しいです。

— mpiktas 2011

ルベグ測度を含む結果のみに関心がありますか、それともより一般的には確率論の枠内にありますか？ここの参加者の間でこれについていくつかの疑問があるようです。

— 2011

回答:

コメントで述べたように、これらのタイプのイベント（測定不可能なセット）を処理する方法は、本で説明されています。最初の数ページを閲覧できます。

$(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

このような定義で非常に実り多い理論を構築できることがわかります。

— mpiktas
ソース

私は経験的プロセス理論の専門家ではありませんが、外部確率の使用は実際には非測定可能セットに確率を割り当てるという欲求に基づいているのではないという印象ですが、実際に常に測定可能性を証明しています。そして、フビニの定理のようなものなしで生きることができれば、基本的には外部確率を計算するだけで何も失うことはありません。

— NRH 2011

編集：枢機卿のコメントに照らして：私が以下に私が言うすべては、ルベーグ測度（完全な測度）について暗黙的にです。あなたの質問をもう一度読んで、それはあなたが尋ねていることでもあるようです。一般的なボレルメジャーのケースでは、メジャーを拡張してセットを含めることができる場合があります（ルベーグメジャーでは可能な限り大きいため、ルベーグメジャーでは不可能です）。

そのようなイベントの確率は定義されません。限目。（非実数）複素数に対して実数値の関数が定義されていないのと同様に、確率測度は測定可能なセットに定義されていますが、測定不可能なセットには定義されていません。

では、そのような出来事についてどのような発言ができるでしょうか？さて、最初に、そのようなイベントは、選択した公理を使用して定義する必要があります。つまり、あるルールで記述できるすべてのセットが除外されます。つまり、一般的に関心のあるすべてのセットが除外されます。

しかし、測定不可能な出来事の確率について何か言うことはできませんか？それに限界をつけますか？Banach-Tarskiのパラドックスは、これが機能しないことを示しています。Banach-Tarskiが球を分解する有限数のピースの測度に上限（たとえば、球の測度）がある場合、十分な数の球を作成することにより、矛盾が生じます。逆の同様の議論により、断片は自明でない下限を持つことができないことがわかります。

私がいることを示していないすべての私は、私たちはどの一貫した方法で任意の非自明なboundonに「対策を置くことができないことを示す引数を思い付くことができるはずよりも賢い者と信じているものの、非測定可能なセットは、この問題があります"測定不可能なセット（コミュニティへの挑戦）。

要約すると、そのようなセットの確率測度については何も述べることができません。関連するすべてのセットが測定可能であるため、これは世界の終わりではありません。

— ハー
ソース

これは興味深い答えであり、有益な答えです。しかし、あなたはルベーグの可測性に過度に集中しているかもしれません。測定不能セットは確率理論ではるかに普及しています。

— 枢機卿、

$\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$

— NRH
ソース