回帰係数に季節性を許容する方法はありますか？

8

時系列G _tと共変量B _{tがあるとし}ます。ARMAモデルによってそれらの間の関係を見つけたい：

G _T = Z _T +β ₀ +β ₁ B _T

ここで、残差Z _tはいくつかのARMAプロセスに従います。

問題がある：私は確かに知っているβ ₀及びβ ₁年の時間とともに変化します。それでも、月ごとに個別のモデルをあてはめたくありません。これは、時系列に不連続性をもたらすため、最終的な残差の自己相関関数を計算できないためです。

それで、共変量の相関係数を季節的に変化させることができる時系列モデル（またはモデルのファミリー、不思議）はありますか？

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編集：ここに答えてくれてありがとう。季節限定のダミーを使うことにしたのですが、忙しかったので間に合いませんでした。

— eddieisnutty
ソース

いいえ、これは馬鹿げた質問ではありません。「季節性の変化」を意味するとき、季節性は時間の経過とともに変化し、一定ではないということですか確率的季節性を処理するモデルが必要な場合は、確定的季節性のみを処理するため、ダミーコーディングは機能しません。私の以前の質問を参照してください。をARIMA（p、d、q）（P、D、Q）としてモデルだけで、これが実行されます。

Z_{t}

$Z_t$

— 予測者

6

編集（同じアイデアが、回答を投稿する数分前にStephan Kolassaによって提案されました。以下の回答でも、いくつかの関連する詳細が得られます。）

季節のダミーを使用できます。簡単にするために、四半期ごとの時系列でこれを示します。季節ダミーは、季節ごとの指標変数です。番目の季節ダミー季節に関連するものの観測値1をとるそうでなければ0。四半期ごとのシリーズでは、季節のダミーは次のように定義されます。 $i$ $i$ $SD$

\begin{array}{rcl} S D = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] S D B = [\begin{array}{cccc} B_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{4} \\ B_{5} & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{n - 3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{n - 2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{n} \end{array}] \end{array}

$\begin{eqnarray} SD = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \quad SDB = \left[ \begin{array}{cccc} B_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{4} \\ B_{5} & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ B_{n-3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{n-2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{n} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}$

各列に説明変数を掛けて、上で定義した行列を取得できます。 $SD$ $B_t$ $SDB$

次に、次のようにモデルを指定できます。

G_{t} = Z_{t} + β_{0, s} S D_{t} + β_{1, s} S D B_{t},

$G_t = Z_t + \beta_{0,s} SD_t + \beta_{1,s} SDB_t \,,$

ここで、インデックスは季節を示します。各列に1つずつ 4つの係数（毎月のシリーズでは12）があることに。 $s$ $\beta_{1,s}$ $SDB$

完全な共線性を回避するために 1つの列を削除する必要があることを除いて、切片と同じです。毎月のシリーズでは、たとえば最初の11の季節的切片を含めます。 $\beta_0$ $SD$ $SD$

たとえば最尤法でモデルを近似すると、季節ごとに1つの係数推定値が得られます。また、テストかどうでし全てについて同じである場合は同様に季節にわたって一定です。 $\beta_{0,s}$ $s$ $\beta_{1,s}$

— Javlacalle
ソース

1

+1。ARMAエラーがある場合は、通常の最小二乗法を使用してフィットする必要はありません。

— Stephan Kolassa、2015

1

@javlacalle +1、季節性を取得するために季節性ダミーの代わりにARIMA（p、d、q）（P、D、Q）としてを単純に使用できますか？このようにして、確定的季節性に加えて確率的季節性も考慮します。これは回帰係数としての季節性に関するOPの質問には対応していませんが、違いを強調することは価値があります。

Z_{t}

$Z_t$

— 予測者

1

私はOPの追求だと思う@forecasterの影響を測定することであるに異なる季節で。これは、季節ごとに変化する係数許可することでできます。場合すべての季節のための定数であり、我々はの効果を測定することができません差は有意である場合、それぞれの季節で、テストを。さらに、が固定されている場合、残差の季節性を観察すると、季節的なARIMAモデルをしてのモデルを拡張する必要がなく、単一の係数で捕捉されない季節効果がある可能性があります。

B_{t}

$B_t$

G_{t}

$G_t$

β_{s, 1}

$\beta_{s,1}$

β_{1}

$\beta_1$

B_{t}

$B_t$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

Z_{t}

$Z_t$

— javlacalle

1

@フランク除外されたシーズンの切片はゼロに設定されます。残りの係数に関連する切片の係数は、削除されたシーズンの平均値（必ずしもゼロではなく、係数とそのシーズンの残りの変数の値によって決定される値）に対する変化として解釈されます。

— javlacalle

1

@Frankで11の列が使用されている場合、原則として定数（1の列）を含めます。そうでない場合、残差は平均してゼロにならない可能性があります：。12番目のシーズン（1つは）では、の期待値はです。係数、は、推定値に対する変化として解釈されます。

S D B

$SDB$

α

$\alpha$

G_{t} = α + Z_{t} + β_{0, s} S D_{t} + β_{1, s} S D B_{t}

$G_t = \alpha + Z_t + \beta_{0,s} SD_t + \beta_{1,s} SDB_t$

G_{t}

$G_t$

α + β_{1, 12} S D B_{t}

$\alpha+\beta_{1,12}SDB_t$

β_{0, s}

$\beta_{0,s}$

s = 1, \dots, 11

$s=1,\dots,11$

α

$\alpha$

— javlacalle

5

確かにあります。とのやり取りに毎月のダミーを含めるだけです。LETタイムなら1で示すダミーヶ月に相当およびそうでなければ0。次に、ARMAエラーを含む次の回帰を当てはめます。 $B_t$ $M_{tm}$ $t$ $m$

G_{t} = β M_{t \cdot} + γ B_{t} M_{t \cdot} + Z_{t}

$G_t = \beta M_{t\cdot} + \gamma B_tM_{t\cdot} + Z_t$

ここで、はARMA（p、q）であり、およびは長さ12のパラメーターベクトルです。 $Z_t$ $\beta$ $\gamma$

パッケージで R をnlme使用し、gls()関数を使用してcorARMA()相関構造を指定することで、実際のフィッティングを行うことができます。

— ステファン・コラサ
ソース

データポイントが多くなく、パラメータを保持したい場合はどうなりますか？パラメータを最小限に保ちながらシーズンを減算する方法はありますか？

— フランク

1

@フランク：複雑なモデルをサポートするにはデータが少なすぎる場合、個人的には、なげなわ、弾性ネット、ベイジアンアプローチなどの正則化を検討します。

— ステファンコラサ

そんな古い質問に答えてくれてありがとう。とそれぞれ12項を持つべきですか？または、は11項を持つ必要がありますか？私は「ダミー変数トラップ」について学びましたが、このケースを明確に説明しているリファレンスが見つかりません。たとえば、このモデルは機能しますか？または、ベクトルの長さを1だけ減らす必要がありますか？

β M_{t}

$\beta M_t$

γ B_{t} M_{t}

$\gamma B_t M_t$

β M_{t}

$\beta M_t$

β

$\beta$

Y_{t} = β M_{t} + γ B_{t} M_{t} + f (t) + Z_{t}

$Y_t = \beta M_t + \gamma B_t M_t + f(t) + Z_t$

— フランク

1

@フランク：はい。切片がないため、両方とも12項を持つ必要があります。あなたは1つの用語を削除すると、言う月に平均ということを意味用、通常は意味をなさなくなり、ゼロでなければなりません。あるいは、切片と項を主効果として含め（相互作用なし）、と両方から1つのエントリを残します。これにより、が得られます。パラメータは、私が提案するモデルとまったく同じです。これは単なるパラメータ設定です。コメントで提案するモデルは機能します（決定論的な想定）。

β_{1}

$\beta_1$

1

$1$

B_{t} = 0

$B_t=0$

B_{t}

$B_t$

M

$M$

β

$\beta$

γ

$\gamma$

1 + 1 + 11 + 11 = 24

$1+1+11+11=24$

f

$f$

— ステファンコラサ

1

はい、そうでなければなりません

— ステファンコラサ

4

$\beta_0(t) = w_0 + w_1\sin nt + w_2\cos nt$ $\beta_1(t) = w_3 + w_4\sin nt + w_5\cos nt$ 、これらを線形モデルに置き換えると、次のような形になります。

$G_t = Z_t + w_o + w_1\sin nt + w_2\cos nt + w_3B_t + w_4B_t\sin nt + w_5B_t\cos nt$

$\sin nt$ $\cos nt$ $B_t\sin nt$ $B_t\cos nt$ $n$ $2\pi/365$

回帰係数の季節性は時間の滑らかな関数であるため、モデルに不連続性が生じることはありません。年間周期の高調波を表す正弦および余弦成分を追加した場合、回帰係数の単純な正弦波変動からの偏差をモデル化できると思います（フーリエ級数型アプローチ）。

警告：長い一日だったので、どこかで愚かなエラーをしたかもしれません。

— ディクラン有袋類
ソース

（+1）三角法は興味深い代替手段です。三角法のもう1つの魅力は、必要なパラメーターが少ないことです。あなたの方程式は、私が私の回答で議論したアプローチで、11 + 12 = 23に対して6つのパラメーターを使用します。実際には、基本的な季節周波数（月次シリーズでは）に加えて、その高調波のいくつかを含める必要があります。これには、より多くのパラメーターが必要になります。ただし、すべての高調波を含めずに妥当なフィットを得ることができるため、推定するパラメーターの数を減らすことができます。

2 π / 12

$2\pi/12$

— javlacalle 2015

私が目にする欠点は、回帰モデルのコンテキストでは解釈が簡単ではないことです。0-1の季節ダミーの解釈は、季節周期のサイクルではなく、月単位で行うことができます。たとえば、特定の製品の販売に対する温度の影響は8月に最も高く、3月には大きな影響がないと結論付けることができます。三角法のアプローチでは、たとえば、売上に対する温度の影響は6か月ごとに繰り返されるサイクルに従うと結論付けます。前者の解釈の方が有益かもしれません。

— javlacalle 2015

このアプローチでもこれを行うことができ、サインとコサインのコンポーネントの加重和によって各との変動をプロットし、それを離散化して売上高が月ごとにどのように変化するかを確認できます。元の質問は、不連続が望まれていないことを示唆しており、これは滑らかな変化を意味します。結局のところ、正しいアプローチは、何を調べようとしているのかによって異なります。

β_{0}

$\beta_0$

β_{1}

$\beta_1$

— Dikran Marsupial 2015

1

私が理解している限り、OPの問題は残差の不連続性でした。12の回帰モデル（毎月1つ）をフィッティングすると、一連の残差ではなく、12の残差のシリーズが表示されます。自己相関。0から1のダミーと三角関数のダミーの両方が、この問題に対処する適切な方法です。あなたが言うように、どちらがより自然なアプローチであるかは、分析の目的と必要な情報の種類に依存します。

— javlacalle 2015

質問は一般的で、タグのみeconometricsがOPのその側への関心を明らかにすることを強調しておきましょう。環境時系列データの場合、三角法のアプローチは非常に効果的で自然な場合がよくありますが、逆に、データがそのように報告されていても、月はほとんどまたはまったく意味がありません。

— Nick Cox

2

季節サイクルの平均と調和をxとyの時系列に適合させます。これらは切片条件を提供します。次に、xとyからそれらを減算して異常を作成します。これらの異常x 'とy'を使用して、季節ごとに変化する回帰勾配係数を計算します。x 'とy'の間の配列積を、平均と先行高調波を季節サイクルに合わせます。x 'の分散についても同じことを行います。次に、共分散への季節サイクルフィットを分散への季節サイクルフィットで割り、連続的に変化する勾配係数を提供します。詳細については、http：//onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/qj.3054/fullを参照してください

— ポール・ラウンディ
ソース