累積分布関数（CDF）が分布を一意に定義するのはなぜですか？

私は常にCDFは一意であると言われていますが、PDF / PMFは一意ではありません。なぜですか？PDF / PMFが一意ではない例を挙げていただけますか？

一意性に関しては、上の均一分布のPDFと、その内部上の均一分布のPDFの違いを検討することができます。PDFが存在するかどうかの問題に取り組む別の楽しい演習は、有理数上の分布のPDFがどのようになるかを考えることです。例えば、ましょうたびに、

、及び

奇数です。

[0, 1]

$[0,1]$

(0, 1)

$(0,1)$

Pr (j 2^{- i}) = 2^{1 - 2 i}

$\Pr(j2^{-i})=2^{1-2i}$

0 < j 2^{- i} < 1

$0\lt j2^{-i}\lt 1$

i \geq 1

$i\ge 1$

j

$j$

— whuber

すべてのディストリビューションがPDFやPMFを持っているわけではありませんが、CDFを見ると物事が統一されたビューになります。連続変数には滑らかなCDFがあり、離散変数には「階段」があり、いくつかのCDFが混在しています。

— シルバーフィッシュ

@シルバーフィッシュ：...そしていくつかは上記のどれでもありません！:

— 枢機

タイトルに対処するために（おそらく多少緩い）、CDF（または単にDF / 'distribution function'; "C"は私たちが話しているオブジェクトであることを明確にするためにのみ機能する）「配布」とは、文字通り、「D」はその部分の手がかりです。「F」に続くユニークなもの-関数は単一値であるため、2つの分布関数が同一である場合、それらが定義するオブジェクトは同じです。DFがどこでも異なる場合、DFの定義はそれらのポイントで異なります。それはトートロジーですか？私はそう思う。

— Glen_b -Reinstateモニカ

@Glen_bそれは訓練された直観にのみトートロジーです。分布関数

F

$F$ は、

の形の確率のみを与えますが、分布

F (x) = Pr {ω \in Ω | X (ω) \leq x}

$F(x)=\Pr\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\le x\}$ 全体は

の形の確率を指定します。

の任意の測定可能なセットの

。あなたが表示する必要が

を判断しNicholasBが指摘しているように、それは（半開間隔の）半リングから事前測定を拡張する問題です。

、完全なルベーグのシグマフィールドに、それがユニークであることを示しています

Pr ({ω \in Ω | X (ω) \in B}

$\Pr(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\in\mathcal{B}\}$

B \subset R

$\mathcal{B}\subset\mathbb R$

F

$F$

μ ((a, b]) = F (b) - F (a)

$\mu((a,b])=F(b)-F(a)$

— whuber

回答:

いくつか思い出してみましょう。してみましょうも確率空間、私たちのサンプルセットがあり、私たちです -代数、および上に定義された確率関数である。確率変数は、測定可能な関数である、すなわちのための任意のルベーグ測定サブセット内の。あなたがこの概念に精通していない場合、その後私が言うことはすべて意味をなさないでしょう。 $(\Omega,A,P)$ $\Omega$ $A$ $\sigma$ $P$ $A$ $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X^{-1}(S) \in A$ $\mathbb{R}$

ランダム変数があるときは、カテゴリープッシュフォワードにより確率測定を誘導します。つまり、です。が確率尺度であることを確認するのは簡単です。私たちは呼んで分布の。 $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'(S) = P(X^{-1}(S))$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'$ $X$

この概念に関連するのは、関数変数の分布関数と呼ばれるものです。ランダム変数与えられた場合、を定義します。分布関数は、次のプロパティがあります。 $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $F(x) = P(X\leq x)$ $F:\mathbb{R} \to [0,1]$

$F$ は右連続です。
$F$ は減少しない
$F(\infty) = 1$ および。 $F(-\infty)=0$

明らかに等しいランダム変数は、同じ分布と分布関数を持っています。

プロセスを逆にして、指定された分布関数でメジャーを取得するのはかなり技術的です。分布関数が与えられたとしましょう。Define。がの区間の半代数の尺度であることを示す必要があります。その後、カラテオドリを適用できます拡張定理拡張するに確率測度に。 $F(x)$ $\mu(a,b] = F(b) - F(a)$ $\mu$ $(a,b]$ $\mu$ $\mathbb{R}$

— ニコラス・ブルバキ
ソース

これは答えの良い出発点ですが、手元の問題を意図せずに曖昧にしている可能性があります。主な問題は、同じ分布関数を持つ2つのメジャーが実際に等しいことを示しているようです。これは、よりDynkinのよりも何も必要ありません -定理とフォームのセットという事実形成ボレル生成会。 -代数の密度のその後非一意性（仮定しますそれは存在します！）対処し、上記と対比することができます

π

$\pi$

λ

$\lambda$

(- \infty, b]

$(-\infty, b]$

π

$\pi$

σ

$\sigma$

— 枢機

（1つの追加の小さな口論：ランダム変数は通常、ルベーグセットではなくボレルセットの観点から定義されます。）いくつかのマイナーな編集で、この答えは非常に明確になると思います。:-)

— 枢機

@cardinal最初に分析を考え、次に確率を考えます。したがって、これは私がルベーグの集合を考えることを好む理由を説明するかもしれません。どちらの場合でも、それは言われたことには影響しません。

— ニコラスブルバキ

同じ積分（つまり、同じ分布関数を持つ）の2つの密度の例の要求に答えるには、実数で定義されたこれらの関数を考慮してください。

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

その後;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

それらはすべてxで等しいわけではありませんが、同じ分布の両方の密度であるため、密度は（累積）分布によって一意に決定されません。実数領域の密度がx値の可算セットでのみ異なる場合、積分は同じになります。数学的な分析は、本当に弱い人や明確に具体的な心のためではありません。

— DWin
ソース

冒頭の質問で述べた「確率分布関数は確率測度を一意に決定しない」という声明には同意しません。一意に決定します。

ましょう 2つの確率質量関数です。場合、測定可能なセット場合、ほぼすべての場所でです。これにより、pdfが一意に決定されます（分析では、ゼロのセットで一致しない場合は気にしません）。 $f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$

\int_{E} f_{1} = \int_{E} f_{2}

$\int_E f_1 = \int_E f_2$

E

$E$

f_{1} = f_{2}

$f_1=f_2$

上記の積分を書き換えることができますここで、は積分可能な関数です。

\int_{E} g = 0

$\int_E g = 0$

g = f_{1} - f_{2}

$g=f_1-f_2$

定義なので、です。非負の関数の積分がゼロであれば、関数はほぼどこでもゼロであるというよく知られた定理を使用します。特に、で ae です。だから、のAE。次に、して、反対方向に引数を繰り返します。で ae を取得します。したがって、 ae on。 $E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$ $\int_E g = 0$ $g=0$ $E$ $f_1 = f_2$ $E$ $F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$ $f_1 = f_2$ $F$ $f_1 = f_2$ $E\cup F = \mathbb{R}$

— ニコラス・ブルバキ
ソース