Gibbs Samplerトランジションカーネル

ましょう上のターゲット分布である絶対連続的にWRTされる次元ルベーグ測度、すなわち： $\pi$ $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$ $d$

$\pi$ 、密度をに $\pi(x_1,...,x_d)$ $\lambda^d$

λ^{d} (d x_{1}, . . ., d x_{d}) = λ (d x_{1}) \cdot \cdot \cdot λ (d x_{d})

$\lambda^d(dx_1,...,dx_d) = \lambda(dx_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (dx_d)$

からの完全な条件がわかっていると仮定します。したがって、Gibbs-Samplerの遷移カーネルはからの完全な条件文の積です。 $\pi_i(x_i|x_{-i})$ $\pi$ $\pi$

遷移カーネルも、次元ルベーグ測度に対して絶対的に継続的に処理されますか？ $d$

— user2016445
ソース

カゼッラとロバートが書いたギブスサンプラーの収束特性の章について、私はとても混乱しています。この質問に答えるのはかなり明白ですが、それは私の修士論文のためのものなので、確認する必要があります

— user2016445

あなたを混乱させる私たちの章については申し訳ありません...！

— 西安

あなたの質問に著者の一人が答えてくれて幸運です。

— Glen_b-2015

体系的なGibbsサンプラーカーネルの遷移を書き留めると、すべての製品セットため、はaの密度上のルベーグ測度に対して絶対連続である確率測度。

P (X^{'} \in A_{1} \times \dots \times A_{d} | X = x) = \int_{A_{1}} π_{1} (x_{1}^{'} | x_{- 1}) {\int_{A_{2}} π_{2} (x_{2}^{'} | x_{1}^{'}, x_{- 1 : 2}) \dots {\int_{A_{d}} π_{d} (x_{1}^{'} | x_{- d}^{'}) λ (d x_{d}^{'})} \dots λ (d x_{2}^{'})} λ (d x_{1}^{'})

$\mathbb{P}(X'\in A_1\times\cdots\times A_d|X=x)=\int_{A_1} \pi_1(x'_1|x_{-1})\Big\{\int_{A_2} \pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\cdots \left\{\int_{A_d} \pi_d(x'_1|x_{-d}')\lambda(\text{d}x_d')\right\} \cdots\lambda(\text{d}x_2')\Big\}\lambda(\text{d}x_1')$

A_{1} \times \dots \times A_{d} \in B (R^{d})

$A_1\times\cdots\times A_d\in\mathcal{B}(\mathbb{R^d})$

K (x, x^{'}) = π_{1} (x_{1}^{'} | x_{- 1}) \times π_{2} (x_{2}^{'} | x_{1}^{'}, x_{- 1 : 2}) \times \dots \times π_{d} (x_{d}^{'} | x_{- d}^{'})

$K(x,x')=\pi_1(x'_1|x_{-1})\times\pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\times\cdots\times\pi_d(x'_d|x_{-d}')$

(R^{d}, B (R^{d}))

$(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$

— 西安
ソース

それは本当に面白いです:)。もう一度感謝します。ギブスサンプラーの収束特性について、私の章をとても快適に感じています。メトロポリスヘイスティングスのコンバージェンスプロパティの章を本当にありがとう。最小限必要な条件は素晴らしいです、そして私は本当にMH-Algoの対応するマルコフ連鎖の既約性の美しい証明を書き留めます。

— user2016445