収束が速いのは、平均と中央値のどちらですか。

N（0,1）からiid変数を描くと、平均または中央値はより速く収束しますか？どれくらい速く？

具体的には、をN（0,1）から取得したiid変数のシーケンスとします。とをの中央値として定義し。とどちらが0に早く収束しますか？ $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

より速く収束することの意味について具体的に言うと、存在しますか？もしそうなら、それは何ですか？ $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— ジョシュ・ブラウン・クレイマー
ソース

母集団パラメーターに関する点推定の確率の収束について質問していますか？または、確率変数の分布の収束について質問していますか？

— Ryan Simmons、

「0に収束する速度が速い」とは、「漸近分散が小さい」という意味ですか、それとも別の意味ですか？

— Glen_b-2015

@Glen_bこれは、実際の問題によってある程度動機付けられています。中央値は外れ値に対してよりロバストであるため、サンプルサイズが大きくなるにつれて、サンプルの中央値は平均よりも速く収束するようです。この状況で、収束率を表現するための最良の方法が何であるかは、本当にわかりません。具体的には、が存在するかどうかを確認し、存在する場合はそれを確認します。

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

— Josh Brown Kramer、

データが正規分布から本当にサンプリングされている場合、外れ値は非常にまれです-平均への影響が非常にまれなので、母平均の最も効率的な推定としてサンプル平均が残ります。しかし、中央値を競争力のあるものにするために、さまざまなヘビーテールは必要ありません。あなたが言及しているその比率は確かに約0.63になります

— Glen_b -Reinstate Monica

この特定の場合、平均値と中央値は同じです。中央値は平均として64％効率的であることがわかっているため、平均の収束が速くなります。詳細を書くことはできますが、ウィキペディアはあなたの質問を正確に扱います。

— イエール・ダオン
ソース

引用はありますか？

— Josh Brown Kramer、

ラプラス、PSde（1818）パリ、クールシアのテオリーアナリティクデプロバビリテのドゥーシエムサプリメント -ラプラスは、平均と中央値の両方の漸近分布を示します。ウィキペディア

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b：（+1）究極のリファレンス!!!

— 西安

@Glen_bええ、それは壮大な反応でした、私はかなり一生懸命に笑いました。それをありがとう！

— user541686 2015

@ xi'anあなたは平均値と中央値が同じ量であると書くつもりでしたか？

— Yair Daon、2015