テールの依存関係の定義

私は、尾の依存性が何であるかについてのシンプルで簡潔な定義を見つけようと努めてきました。誰かが信じていることを誰かと共有できますか？

次に、グラフ上に異なるコピュラを使用してシミュレーションをプロットする場合、どのコピュラがテール依存を示すかをどのようにして知ることができますか。

$X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$

コピュラがテール依存性を示すかどうかを判断することは、極端なケースでは難しくありません。重要なのは、（2つの）変数が中央よりもグラフの隅でより近くに表示されるかどうかです。

ガウスコピュラには裾依存性がありません。確率変数は高度に相関していますが、特別な関係はなく、いずれの変数も（グラフの隅で）大きな値に達しています。

プロットが同じ周辺からのシミュレーションのプロットと比較すると、テール依存がないことは明らかになりますが、T-2コピュラを使用します。

Tコピュラには裾依存性があり、依存関係は相関関係とともに増加し、自由度の数とともに減少します。より多くの点がシミュレートされ、単位正方形の大部分が覆われた場合、右上と左下の角に細い線がほとんど見えます。しかし、グラフ上でさえ、右上と左下の象限（つまり、両方の変数が非常に低い値または非常に高い値に到達する場所）では、2つの変数は体内よりもさらに密接に相関しているように見えます。

金融市場はテール依存性、特にテール依存性の低下を示す傾向があります。たとえば、平常時の主要株のリターンには約0.5の相関がありますが、2008年9月/ 10月には、0.9を超える相関があったペアがあり、どちらも大幅に低下していました。ガウシアンコピュラは危機前にカムクレジット商品の価格設定に使用され、テール依存を考慮していなかったため、多くの住宅所有者が支払えなくなった場合の潜在的な損失を過小評価していました。住宅所有者の支払いは確率変数として理解されるかもしれません-そして、多くの人々が住宅ローンの支払いに問題を抱え始めた瞬間に、それらは高度に相関していることが証明されました。不利な経済情勢のためにこれらのデフォルトは密接に関連していたので、再びテール依存性を示しました。

PS：技術的に言えば、写真はコピュラと通常の周辺から生成された多変量分布を示しています。

裾の依存性とは、分布の裾（どちらかまたは両方）で「さらに」なると、2つの変数間の相関関係が増加することです。クレイトンコピュラとフランクコピュラを比較します。

クレイトンは左裾依存性を持っています。つまり、左端に近づくほど（値が小さいほど）、変数の相関が高くなります。フランク（およびそのことについてはガウス）は対称です。相関が0.45の場合、分布のスパン全体で0.45です。

経済システムはテール依存を示す傾向があります。たとえば、再保険会社の信用リスクを取りましょう。全体的な損失が正常である場合、再保険会社Aと再保険会社Bのどちらが保険会社への支払いをデフォルトにするかは、無相関または非常に弱い相関に見えることがあります。一連の死傷者が発生したと想像してください（ハリケーンリタ、ウィルマ、アイダなど）。現在、市場全体が次々と巨大な支払い要求に見舞われており、問題の範囲とその被保険者の同時要求により、多くの再保険会社が直面する流動性の問題につながる可能性があります。彼らの支払い能力は、今ではより相関しています。これは、右後退依存のコピュラが要求される例です。

尾の依存性は、少なくとも私が理解しているように、統計の背景が限られている人に説明されました。

XとYの2つの変数があるとします。それぞれ100,000の観測があります。観察はある意味で結びついています。おそらく、それらはコピュラを使用して生成されたものであるか、100,000期間にわたって2つの強く相関する株式の戻り値がある場合があります。

Xの観測値の最悪の1％を見てみましょう。これは1,000個の観測値です。次に、これらの1,000個の観測値のYに対応する値を見てください。XとYが独立している場合、 10の観測値は、Yの最悪の1％値の一部である1,000の観測値の10となるはずです。

XとYの値が裾で独立していない場合、実際の観測数は10を超える可能性があります。これを裾依存と呼びます。