なぜ単純なグリッドの代わりにモンテカルロ法を使用するのですか？

関数を統合するとき、または複雑なシミュレーションで、モンテカルロ法が広く使用されているのを見てきました。ランダムなポイントを描画する代わりに、関数を統合するためにポイントのグリッドを生成しない理由を自問しています。それはより正確な結果をもたらさないでしょうか？

数年前に同じ質問を自分でしたときに、これらの講義ノートの第1章と第2章が役に立ちました。要約：を有するグリッド 20次元空間内の点が要求するN 20機能評価を。それはたくさんです。モンテカルロシミュレーションを使用することにより、次元の呪いをある程度回避します。モンテカルロシミュレーションの収束は、O （N - 1 / 2）、かなり遅いものの、寸法的に独立しています。$N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

確かにそうです。ただし、CPU使用量が大幅に増加します。この問題は、特にグリッドが事実上使用できなくなる多くの次元で増大します。

以前のコメントは、シミュレーションが多次元問題で使いやすいという点で正しいです。ただし、懸念に対処する方法があります-http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequenceおよび http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_gridをご覧ください。

通常、モンテカルロを検討する際の拒絶サンプリングのことですが、マルコフ連鎖モンテカルロを使用すると、グリッドを使用するよりも効率的に多次元パラメーター空間を探索することができます（またはその場合の拒絶サンプリング）。MCMCを統合に使用する方法は、このチュートリアルで明確に説明されています-http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

2つのこと-

1. 次元の呪いを回避することにより、収束を高速化します。グリッド内のほとんどのポイントは、追加の情報をあまり提供せずに同じハイパー平面上にあるためです。ランダムポイントはN次元空間を均等に満たします。LDSはさらに優れています。

2. モンテカルロ法では、統計的にランダムなポイントが特定の順序で必要とされない場合があります。グリッドポイントの順序付けられたシーケンスは、貧弱な統計特性をもたらします。