特定の分位点から分布の合計の分位点を計算する

データからの推定により、特定のレベルの分位数がわかっている独立確率変数があるとします。、...、。ランダム変数を合計として定義しましょう。レベル、つまりで合計の分位の値を計算する方法はありますか？$N$$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

がガウス分布従う場合など、特定のケースではこれは簡単だと思いますが、の分布が不明である場合はよくわかりません。何か案は？$X_i$$\forall i$$X_i$

$q_Z$は何でもません。

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この状況を理解するために、簡単に説明します。協力して我々はより均一な特性を得ます$Y_i = X_i - q_i$

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

つまり、各は負になる確率が同じです。なぜなら$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

の定義方程式は、$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

。$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

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の可能な値はですか？すべて同じ確率で2つの値のすべての確率を持ち、一方が負（）ともう一方が正（）の場合を考えます。合計の可能な値は、に対してに制限されます。これらのそれぞれは確率で発生します$q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

両極端は

1. 選択およびように。およびはこれを実現します。これにより、すべてのが正の場合を除いて、が負になることが保証され 。このチャンスは等しい。場合、これはを超えます。つまり、分位数は厳密に負でなければなりません。$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. 選択およびように。およびはこれを実現します。これにより、すべてのが負の場合にのみが負になることが保証され。このチャンスはと同じです。場合、これは未満です。つまり、分位数は厳密に正でなければなりません。$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

これは、分位数が負または正のいずれかである可能性があるが、ゼロではないことを示しています。そのサイズは何でしょうか？と積分線形結合に等しい必要があります。これらの両方の値を整数にすると、すべての可能な値が整数になります。を任意の正の数でスケーリングすると、とすべての整数線形結合が整数倍であることを保証でき ます。以来、それは、少なくともでなければなりませんサイズで。したがって、$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$可能な値（及びそこの）、無制限である$q_W$$q_Z$ものに関係なく等しくすることができます。$n\gt 1$

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のみに関する情報を導出するための方法分布上の特定と強い制約を作ることであろう防止し、この負の結果を導き出すために使用されるアンバランスな分布の種類を制限するために、。$q_Z$$X_i$