2つの独立した一様確率変数の積のpdf

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ましょ〜と〜与えられた分布を持つ2つの独立したランダム変数です。分布は？ $X$ $U(0,2)$ $Y$ $U(-10,10)$ $V=XY$

私は畳み込みを試みましたが、

h （ v ） = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{y} f_{Y} （ y ） f_{バツ} （ \frac{v}{y} ） d y

$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$

また、、 $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

h （ v ） = \frac{1}{20} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$

h （ v ） = \frac{1}{40} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} d y

$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$

何かが私に言って、それは0で不連続なのでここに奇妙な何かがあります。助けてください。

distributions random-variable

— cgo
ソース

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これが宿題の質問である場合、自習タグを追加していただけませんか。ありがとうございました！

— Andy

これは一律のRVではないのでしょうか？

— Yair Daon、2015年

制服のようには見えません。多分ログ付き？しかし、境界の間にゼロがあり、関数がゼロで定義されていないので、それを書き出す方法がわかりません。

— cgo 2015年

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細かい、厳密な、エレガントな答えがすでに投稿されています。これの目的は、基礎となる構造をもう少し明らかにするような方法で同じ結果を導き出すことです。これは、確率密度関数（pdf）がで特異でなければならない理由を示しています。 $XY$ $0$

コンポーネントの分布の形式に焦点を合わせると、多くのことが実現できます。

2倍であるランダム変数。標準、全て均一な分布の「ナイス」形特性です。 $X$ $U(0,1)$ $U(0,1)$
10倍であるランダム変数。 $|Y|$ $U(0,1)$
記号ラーデマッヘル分布に従う：それは等しい又は、それぞれの確率で。 $Y$ $-1$ $1$ $1/2$

（この最後のステップでは、非負の変量を中心とする対称分布に変換し。どちらの裾も元の分布のように見えます。） $0$

したがって、（）に対して対称であると、（b）はその絶対値が二つの独立した回数積ランダム変数。 $XY$ $0$ $2\times 10=20$ $U(0,1)$

多くの場合、製品は対数を取ることによって単純化されます。 実際、よく負の対数のことが知られている（これはランダム指数変量を生成する最も簡単な方法についてあるため）変数は、それらのうちの2つの積の負の対数を有しそこ、指数分布を有しています2つの指数の合計の分布。指数は、分布。同じスケールパラメーターを持つガンマ分布は簡単に追加できます。形状パラメーターを追加するだけです。A を加え $U(0,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ 変量従って有する分布。したがって $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(2,1)$

確率変数の対称バージョンであるの負の時間指数関数変数。 $XY$ $20$ $\Gamma(2,1)$

PDFの構造のそれから分布が左から右に示され、均一から、指数関数的に、へ進む、その負の指数関数に、倍にスケーリングされた同じもの、そして最後にそれの対称化されたバージョンに。そのPDFはで無限であり、そこで不連続性が確認されます。 $XY$ $U(0,1)$ $\Gamma(2,1)$ $20$ $0$

ここでやめてもいいかもしれません。 たとえば、次の式のように、この特性は実現を直接生成する方法を提供します。 $XY$ R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

この分析は、pdfが爆発する理由も明らかにし。 $0$ 我々は（負）の指数と考えたときに特異点が最初に出現 1乗算に対応し、分布別の一つによって変量を。（例えば）内の値の係数の（）1未満である場合を含む（これらに限定されない）、多くの方法で発生または（b）の両方の要因未満である $\Gamma(2,1)$ $U(0,1)$ $\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ 。その平方根は、が近い場合、自体よりも非常に大きくなり。これは、より大きい量で多くの確率を強制します $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $0$ 、長さ区間に圧縮される。これを可能にするには、製品の密度を任意に大きくする必要があり。その後の操作（倍のスケーリングと対称化）では、明らかにその特異性は解消されません。 $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $0$ $20$

この解答の説明的な特徴付けは、最小限の手間で数式に直接つながり、完全で厳密であることを示します。 例えば、PDFファイルの取得するために、確率要素で始まる分布 $XY$ $\Gamma(2,1)$

f （ t ） d t = t e^{- t} d t 、 0 < t < \infty 。

$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$

まかせ意味及び。この変換では、順序も逆になります値が大きくなると、値が小さくなります。このため、置換後の結果を否定する必要があります。 $t=-\log(z)$ $dt = -d(\log(z)) = -dz/z$ $0 \lt z \lt 1$ $t$ $z$

f （ t ） d t = - （ - ログ （ z ） e^{- （ - ログ （ z ） ）} （ - d z / z ） ） = - ログ （ z ） d z 、 0 < z < 1。

$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$

倍率これを $20$

- ログ （ z / 20 ） d （ z / 20 ） = - \frac{1}{20} ログ （ z / 20 ） d z 、 0 < z < 20。

$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$

最後に、対称化はを置き換えます、その値から、今の範囲を可能にするを、そしてによりPDFファイルを分割する均等間隔を横切って合計確率を広げると。 $z$ $|z|$ $-20$ $20$ $2$ $(-20,0)$ $(0,20)$

\begin{aligned} f_{バツ Y} （ z ） d z & = - \frac{1}{2} \frac{1}{20} ログ （ | z | / 20 ） 、 - 20 < z < 20; \\ f_{バツ Y} （ z ） d z & = 0 さもないと 。 \end{aligned}

$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$

— whuber
ソース

それがよりにしようとしてくれてありがとう「（『シミュレーション親しみやすい私はまだ、このビットカウンタの直感的な発見西安のに似ています）私はこれを実行させました。』：plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )上の密度を100ことを回避するに成果物の一部を長さを上げます制限付き配布

— DWin

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導出では、の密度を使用しません。以来、、 $X$ $X\sim\mathcal{U}(0,2)$ ので、あなたの畳み込み式に

f_{バツ} （ バツ ） = \frac{1}{2} 私_{（ 0 、 2 ）} （ バツ ）

$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$

（Iも絶対値を加算してヤコビアンを補正）。したがって、

h （ v ） = \frac{1}{20} \int_{- 10}^{10} \frac{1}{| y |} \cdot \frac{1}{2} 私_{（ 0 、 2 ）} （ v / y ） d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$

ここでは、結果のシミュレーションによる確認は次のようになります。

\begin{aligned} h （ v ） & = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| y |} 私_{0 \leq v / y \leq 2} d y + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| y |} 私_{0 \leq v / y \leq 2} d y \\ = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| y |} 私_{0 \geq v / 2 \geq y \geq - 10} d y + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| y |} 私_{0 \leq v / 2 \leq y \leq 10} d y \\ = \frac{1}{40} 私_{- 20 \leq v \leq 0} \int_{- 10}^{v / 2} \frac{1}{| y |} d y + \frac{1}{40} 私_{20 \geq v \geq 0} \int_{v / 2}^{10} \frac{1}{| y |} d y \\ = \frac{1}{40} 私_{- 20 \leq v \leq 0} ログ {20 / | v |} + \frac{1}{40} 私_{0 \leq v \leq 20} ログ {20 / | v |} \\ = \frac{ログ {20 / | v |}}{40} 私_{- 20 \leq v \leq 20} \end{aligned}

$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$ ここに画像の説明を入力してください

として入手

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

— 西安
ソース

ありがとね。なぜ境界が-10から10に変わり、-10からv / 2に変わったのですか？

— cgo 2015年

どこかにネガがあるべきですか？ありがとう

— cgo 2015年

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- 20 < v < 20

$-20\lt v \lt 20$

\log (20 / | v |)

$\log(20/|v|)$

20 / | v | > 1

$20/|v|\gt 1$

- \log (| v | / 20)

$-\log(|v|/20)$