X / YがZと同じ分布を持つ場合、XがYZと同じ分布を持つことは本当ですか？

X、Y、Zを3つの独立確率変数とする。X / YがZと同じ分布を持つ場合、XがYZと同じ分布を持つことは本当ですか？

probability ratio

— user2808118
ソース

いいえ

と

が標準の正規で、

が標準のコーシー確率変数である場合を考えてください（質問の前提に従って、3つすべてが独立しています）。

には標準コーシー分布（

と同じ）があることはよく知られていますが、

は標準正規分布がありません（

が存在しないため）。したがって、結果が保持される可能性のある例を見つける希望を得るには

（Silverfishの回答を参照）に追加の制限が必要です。

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— ディリップサルワット2015年

@Dilip私はそれを私の反例として使用することを考えましたが、

が存在しない理由の簡単な説明が思いつかなかったので、それを避けました。あなたがきちんとした議論を持っているなら、あなたは私が思う答えとしてそれを投稿するべきです。（おそらくお分かりのように、私は答えでゼロと無限大を意図的に避けたので、無限ではないものを避けようと非常に熱心でした！）

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$

X

$X$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— ディリップサルワット2015年

$X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

$X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

$\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

$Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ 代わりにベルヌーイ変数、またはわずかに翻訳されたため、確率は半分で0に非常に近くなります。Rademacherの例では、3つの期待値がすべてゼロであるため、ここでは問題がなかったことに注意してください。さらに、この状態では十分ではないことに注意してください。）

$Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

この物語の教訓が必要な場合は、スケーリングおよび変換されたBernouilli変数（Rademacher変数を含む）をいじってみてください。これらは、例と反例を作成する簡単な方法です。変数のさまざまな関数の分布を手作業で簡単に計算できるように、サポートの値を少なくするのに役立ちます。

$X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— シルバーフィッシュ
ソース

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

@Dougalこれについて言及していただきありがとうございます。書いているとき、それを含めることを考えましたが、標識などの話し合いで流れが崩れると感じました。私は「ジェンセンの不平等を参照してください」と言ってウィキペディアまたは同様のリンクを追加することを考えましたが、回避しようとしているコンベクシティの条件を前に付けていなかったため、これは良い考えではないと判断しました。代わりに、RVの非線形関数の期待が一般的に議論されている場所（おそらくCVスレッド）があるかどうかを確認しましたが、それは当然、好奇心の強い読者をJensenに導きますが、何も見つけませんでした私はまだ好きです。

— Silverfish、2015年

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Silverfish

ええ、良い点ですが、この（一見自然に見える）関係が成立する条件に興味があります。上記の私のコメントでは、条件を間違って記述したことに注意してください。もちろん、必要があります

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$