指数分布のML推定（打ち切りデータ付き）

生存分析では、rv 生存時間が指数関数的に分布していると想定します。私が持っていることを考えると、今 IID RVさんの"成果" 。これらの結果の一部のみが実際に「完全に実現」されています。つまり、残りの観察結果はまだ「生きています」。 $X_i$ $x_1,\dots,x_n$ $X_i$

分布のレートパラメーター ML推定を実行したい場合、実現されていない観測をコヒーレント/適切な方法でどのように利用できますか？推定に役立つ情報がまだ含まれていると思います。 $\lambda$

誰かがこのトピックに関する文献を教えてくれませんか？確かに存在します。しかし、トピックに適したキーワード/検索用語を見つけるのに苦労しています。

— グッドガイマイク
ソース

あなたはからと言っているように、

あなたは測定を持っているのランダム変数、言う

（関連するランダム変数は、測定時に「死んで」いた、ので）残りながら観察は、「確定」生命の長さを表す

観測値は、測定時に「まだ生きている」確率変数の生存期間ですか？（

）

n

$n$

n_{1} < n

$n_1 < n$

n_{2} < n

$n_2 <n$

n_{1} + n_{2} = n

$n_1+n_2 = n$

— Alecos Papadopoulos 2015

これは切り捨てられたモデルであり、観測が停止したときに「生きている」確率変数が切り捨てられます。

— 西安

切り捨てられたデータと関連ソースについては、Tobitモデルを確認してください（例：ここ）。

— Richard Hardy

x_{i} > t_{i}

$x_i > t_i$

t_{i}

$t_i$

2つの状況の微妙な違いに注意してください。打ち切りが打ち切りと混同されることは珍しくなく、逆もまた同様です。

— Alecos Papadopoulos 2015

$x_1, \dots, x_n$ $\lambda>0$ $f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$ $F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$ $r$ $x_{r+1}, \dots, x_n$ $x_j > t_j$ $t_j$ $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

L (λ) = \prod_{i = 1}^{r} f (x_{i}; λ) \cdot \prod_{i = r + 1}^{n} G (t_{j}; λ)

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$

l (λ) = r \log λ - λ (x_{1} + \dots + x_{r} + t_{r + 1} + \dots + t_{n})

$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$

r \log λ

$r\log\lambda$

n \log λ

$n\log\lambda$

T

$T$

λ

$\lambda$

\hat{λ} = \frac{r}{n T}

$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT

$r=0$

l (λ) = - n T λ

$l(\lambda) = -nT \lambda$

λ

$\lambda$

λ = 0

$\lambda=0$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

しかし、いずれの場合でも、その場合のデータからの本当の結論は、いくつかのイベントを取得するまで、さらに時間を待つ必要があるということです...

$\lambda$ $e^{-\lambda n T}$ $p^n$ $p$ $[\underset{\bar{}}{p}, 1]$ $\lambda$ $\log p = -\lambda T$

$p$

P (X = n) = p^{n} \geq 0.95 (say)

$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$

n \log p \geq \log 0.95

$n\log p \ge \log 0.95$

λ

$\lambda$

λ \leq \frac{- \log 0.95}{n T} .

$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$

— kjetil b halvorsen
ソース

x_{j} > t_{j}

$x_j > t_j$