MANOVAの帰無仮説とは何ですか？

バックグラウンド

（カテゴリー変数によって与えられる）異なるグループ間のいくつかの連続変数の違いを分析するために、一元配置分散分析を実行できます。複数の説明的（カテゴリカル）変数がある場合、階乗ANOVAを実行できます。複数の連続変数（つまり、複数の応答変数）のグループ間の差異を分析する場合は、多変量分散分析（MANOVA）を実行する必要があります。

質問

いくつかの応答変数に対してANOVAのようなテストを実行する方法をほとんど理解していません。さらに重要なことに、帰無仮説が何であるかを理解していません。帰無仮説です：

"各応答変数について、すべてのグループの平均は等しい"、

またはそれは

"少なくとも1つの応答変数について、すべてのグループの平均は等しい"、

またはは何かありますか？ $H_0$

hypothesis-testing anova manova

— Remi.b
ソース

わかりません。ANOVAがどのように機能するかについても質問していますか。標準エラーとは何かを説明するコンテキストでは、基本的にここでANOVAの背後にある基本的な考え方を説明します。標準エラーはどのように機能しますか？

— -モニカの

2つのステートメントのどちらでもありません。H0MANOVAの利点は、多変量空間に違いがないことです。多変量のケースは、単分散よりもかなり複雑です。これは、分散だけでなく共分散も処理する必要があるためです。H0-H1MANOVAで仮説を立てる方法はいくつかあります。ウィキペディアを読んでください。

— ttnphns 2015年

@ttnphns：なぜどちらでもないのですか？ANOVA のは、すべてのグループの平均が等しいということです。MANOVA のは、すべてのグループの多変量平均が等しいことです。これはまさにOPの代替1です。共分散などは、帰無仮説ではなく、MANOVAの仮定と計算を入力します。

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

— amoeba氏は、2015

@amoeba、好きじゃなかったFor each response variable。私にとっては、「テストはそれぞれに対して一変して行われる」（そして何らかの形で結合される）ように聞こえます（または私はそれを読みます）。

— ttnphns 2015年

回答:

一元配置分散分析の帰無仮説は、すべてのグループの平均が等しいということです：一元配置MANOVA の帰無仮説は、すべてのグループの[多変量]の平均が等しいことです：これは、各応答変数の平均が等しい、つまり最初のオプションが正しいということと同じです。 $H_0$

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = . . . = μ_{k} .

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k.$

H_{0}

$H_0$

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = . . . = μ_{k} .

$H_0: \boldsymbol \mu_1 = \boldsymbol \mu_2 = ... = \boldsymbol \mu_k.$

どちらの場合も、対立仮説はnullの否定です。どちらの場合も、仮定は（a）グループ内ガウス分布、および（b）グループ全体の等分散（ANOVAの場合）/共分散行列（MANOVAの場合）です。 $H_1$

MANOVAとANOVAの違い

これは少し混乱するかもしれません：MANOVA の帰無仮説は一変量分散分析のコレクションの帰無仮説の組み合わせとまったく同じですが、同時に、MANOVAを実行することは一変量ANOVAを実行することと同等ではないこともわかっています。結果を組み合わせる」（さまざまな組み合わせ方法が考えられる）。何故なの？

答えは、すべての単変量分散分析を実行すると、同じ帰無仮説をテストする場合でも、能力が低下することです。実例については、ここで私の回答を参照してください。一変量ANOVAがどれも有意に達しない場合、MANOVAはどのようにして有意差を報告できますか？「結合」の素朴な方法（少なくとも1つのANOVAがnullを拒否する場合はグローバルnullを拒否する）も、タイプIのエラー率を大幅に増大させます。しかし、正しいエラー率を維持するために「組み合わせる」ためのスマートな方法を選択したとしても、力を失うことになります。

テストのしくみ

ANOVAは、合計二乗和をグループ間二乗和とグループ内二乗和に分解するため、ます。次に、比率計算し。帰無仮説では、この比率は小さくなければなりません（約）。帰無仮説の下で予想されるこの比率の正確な分布を計算することができます（とグループの数に依存します）。観測値をこの分布と比較すると、p値が得られます。 $T$ $B$ $W$ $T=B+W$ $B/W$ $1$ $n$ $B/W$

MANOVAは、総散布行列をグループ間散布行列とグループ内散布行列に分解するため、ます。次に、行列計算します。帰無仮説の下では、この行列は "小さい"（周り）である必要があります。しかし、それがどれほど「小さい」かを定量化する方法は？MANOVAは、この行列の固有値を調べます（これらはすべて正です）。繰り返しになりますが、帰無仮説の下では、これらの固有値は「小さい」必要があります（すべて約 $\mathbf T$ $\mathbf B$ $\mathbf W$ $\mathbf T = \mathbf B + \mathbf W$ $\mathbf W^{-1} \mathbf B$ $\mathbf{I}$ $\lambda_i$ $1$ ）。しかし、p値を計算するには、nullの下で予想される分布と比較できるようにするために、1つの数値（「統計」と呼ばれます）が必要です。これを行う方法はいくつかあります。すべての固有値の合計を取得します ; 最大固有値を取るなど。いずれの場合も、この数値は、nullの下で予期されるこの量の分布と比較され、p値になります。 $\sum \lambda_i$ $\max\{\lambda_i\}$

検定統計量の選択が異なると、p値がわずかに異なりますが、いずれの場合も同じ帰無仮説が検定されていることを認識することが重要です。

— アメーバはモニカを復活させると言う
ソース

また、複数のテストを修正しない場合、すべて一変量分散分析のアプローチでは、タイプIのエラーインフレも発生します。

— ガン-モニカの回復

@gung：はい、そうです。ただし、ANOVAの少なくとも1つがnullを拒否するとすぐに、nullを拒否するよりも「組み合わせる」方が賢明です。私の要点は、賢い人が「結合」しようと試みたとしても、MANAVAと比較して（たとえエラー率を膨らませることなくテストのサイズを維持できたとしても）依然として力を失うということです。

— amoeba氏は、2015

しかし、その「力」は共分散の概念に直接関連しているのではないでしょうか。道徳は、（一連の）一変量テストでは、SSdifference/SSerrorスカラーである限界効果のみをテストすることです。MANOVAでは、多変量効果はSSCPerror^(-1)SSCPdifference行列です（共分散の合計とグループ内の説明）。ただし、検定統計で単一の方法ではなく「組み合わせる」ことができる固有値がいくつかあるため、いくつかの可能な代替仮説が存在します。より強力-より理論的な複雑さ。

— ttnphns 2015年

@ttnphns、はい、これはすべて正しいですが、帰無仮説が私が書いたものであるという事実は変わらないと思います（そしてそれが問題でした）。使用される検定統計量（Wilks / Roy / Pillai-Bartlett / Lawley-Hotelling）が何であれ、彼らは同じ帰無仮説を検定しようとしています。私は後でこれをより詳細に議論するために私の答えを拡張するかもしれません。

— amoeba氏は、2015

@gungは（...私はいくつかの7年前MANOVAを教えた理由ではないことを確認し、それを適用されることはありません）にチャイムに私に尋ねた-私はアメーバが正しいことを言っていると言うでしょうヌルの完全な否定であるは、パラメーターの次元空間の次元ハイパースペースです（がこれまで誰も定義を気にしなかった次元の場合）。そして、それはOPによって与えられたオプション1です。オプション2は、テストが大幅に困難です。

H_{1}

$H_1$

H_{0} : μ_{group 1} = \dots = μ_{group k}

$H_0: \mu_{\mbox{group }1} = \ldots = \mu_{\mbox{group }k}$

p

$p$

k p

$kp$

p

$p$

— StasK、2015年

前者です。

ただし、それを行う方法は、元の変数のそれぞれの平均を順番に比較することではありません。代わりに、応答変数は、主成分分析と非常によく似た方法で線形変換されます。（ここにPCAに関する優れたスレッドがあります：主成分分析、固有ベクトル、固有値の意味を理解します。）違いは、PCAが軸を最大変動の方向に揃えるように向けるのに対し、MANOVAは軸を次の方向に回転します。グループの分離を最大化します。

ただし、明確にするために、MANOVAに関連付けられているテストでは、元の空間または変換された空間の平均を使用して、直接的な意味ですべての平均を次々にテストすることはありません。それぞれがわずかに異なる方法で機能するいくつかの異なるテスト統計がありますが、それらは空間を変換する分解の固有値を操作する傾向があります。しかし、帰無仮説の性質に関する限り、すべてのグループのすべての平均は各応答変数で同じであり、一部の変数では異なる可能性があるが、少なくとも1つでは同じであるということではありません。

— gung-モニカの回復
ソース

ああ...それで、Manovaは線形判別分析を行い（グループの平均間の距離を最大にするため）、次に、最初の軸を応答変数として使用して標準のanovaを実行しますか？つまり、は「PC1に関して、すべてのグループの意味が同じである」ということです。そうですか？

H o

$Ho$

— Remi.b 2015年

いくつかの異なる可能なテストがあります。1番目の軸のみをテストする場合は、基本的にロイの最大根をテストとして使用します。これは多くの場合、最も強力なテストになりますが、さらに制限があります。私は、どのテストが「最良」であるかについて進行中の議論があることを集めます。

— ガン-モニカの回復

複数のテスト問題を回避するために、複数のANOVAではなくMANOVAを使用していると思います。ただし、MANOVAを実行してLDRの PC1でANOVAを作成するだけの場合は、P値を調べるときに検討する必要のある複数のテスト問題があります。これは正しいですか？（それはもっと理にかなっていると思います。以前の不明確なコメントを削除しました）

— Remi.b

これは洞察に満ちたポイントですが、2つの問題があります。1）軸が直交しているため、複数のテストで問題が変わる可能性があります。2）MANOVA検定統計の標本分布では、複数の軸が考慮されます。

— ガン-モニカの回復

@ Remi.b：これらは良い質問ですが、明確にする必要があります：MANOVAは、LDAの最初の判別軸上のANOVAと同等ではありません！MANOVAとLDAの関係については、ここを参照してください。MANAVA は

— amoeba氏は