シュエット＝ネスビットの公式

私は、Schuette–Nesbitt公式についての記事を読んでいました。これは、組み合わせバージョンと確率的バージョンの両方を含む「包含/除外原理の一般化」と表現されています。別のウェブサイトは依存イベントの証明（pdfダウンロード）を提供し、それをワーリングの定理（pdf）と比較する3分の1を見つけました

しかし、私はまだ混乱しています。式を全体的に理解するのに役立つように、ステップをある行から次の行まで明確にする離散確率（簡単にするため）を使用して、明確に解決された例を見つけてみました。

適切なリファレンス、または簡単に解決された例を提供できる回答はありますか？

probability combinatorics

— シェッパ28
ソース

私は次の本の例を見つけましたが、私の答えは、簡潔で明確にするために本のSec 8.4,8.6の修正版です。

ガーバー、ハンスU「生命保険」。生命保険数学。スプリンガーベルリンハイデルベルク、1990年。

$B_1,\cdots B_n$ は任意のイベントです。はにわたる確率変数です。任意の実係数場合、Schuette–Nesbitt式は、シフト演算子と差分演算子間の次の演算子IDです。定義により、それらはを介して関連付けられ、SN式はここで、は、これらのイベントと間の対称合計です。ご了承ください $N$ $\{0, 1, ... , m\}$ $c_1,\cdots c_m$ $E:c_n\mapsto c_{n+1}$ $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$ $E=id+\Delta$

\sum_{n = 0}^{m} c_{n} \cdot P r (N = n) = \sum_{k = 0}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k}

$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$

S_{k} = \sum_{j_{1}, \dots j_{k}} P r (B_{j 1} \cap \dots \cap B_{j k})

$S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$

n

$n$

S_{0} = 1

$S_0=1$

[Δ^{k} c_{0}]

$[\Delta^{k}c_0]$ は、作用する差分演算子を意味し。たとえば、。両方の演算子は線形であり、したがって行列の表現を持っているため、多項式リングとモジュールに拡張できます（これらの2つのオブジェクトには緩やかな「基底」があるため）

c_{0}

$c_0$

[Δ^{2} c_{0}] = Δ^{1} (c_{1} - c_{0}) = Δ^{1} (c_{1}) - Δ^{1} (c_{0}) = (c_{2} - c_{1}) - (c_{1} - c_{0}) = c_{2} - 2 c_{1} + c_{0}

$[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$

E = (\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots \end{array})

$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$

Δ = (\begin{array}{ccccc} - 1 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & - 1 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & - 1 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots \end{array})

$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$

証明は、インジケータートリックと演算子多項式ととはインジケーターで通勤します。ガーバーの本を参照します。 $\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$ $I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$ $\Delta$

我々が選択した場合、他のすべての、次いでSN式は以下のように包除原理になる： $c_0=1$ $c_1=c_2=\cdots=c_n=1$

\sum_{n = 1}^{m} P r (N = n) = \sum_{k = 0}^{m} Δ^{k} c_{0} S_{k} = c_{0} S_{0} + (c_{1} - c_{0}) S_{1} + (c_{2} - 2 c_{1} + c_{0}) S_{2} + \dots = S_{1} - S_{2} + S_{3} + \dots + (- 1)^{n} S_{n} = [P r (B_{1}) + \dots + P r (B_{n})] - [P r (B_{1} \cap B_{2}) + \dots + P r (B_{n - 1} \cap B_{n})] + \dots + (- 1)^{n} \cdot P r (S_{1} \cap \dots \cap S_{n})

$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$

ワーリングの定理は、イベントから正確にが発生する確率を示します。したがって、と他のすべての s = 0を指定することで、これを導出できます。SNの式は場合、任意の項、変数を変更すると、ワーリングの式が得られます。 $r$ $n$ $B_1,\cdots B_n$ $c_r=1$ $c$

P r (N = r) = \sum_{k = 0}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k} = \sum_{k = r}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k}

$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$

[Δ^{k} c_{0}] = 0

$[\Delta^{k}c_0]=0$

k < r

$k<r$

t = k - r

$t=k-r$

調べることができるガーバーの本にはエンベロープ割り当ての例がありますが、私の提案は、確率ではなく演算子代数の観点から理解することです。

— Henry.L
ソース