尤度関数の計算方法

3つの電子部品の寿命は、およびです。確率変数は、パラメーターを使用した指数分布からサイズ3のランダムサンプルとしてモデル化されています。尤度関数は、$X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$$X_{3} = 2.1$$\theta$$\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$、ここで。$x = (2, 1.5, 2.1)$

そして、問題はを最大化するの値を見つけることによってMLEを決定するために進み。私の質問は、どのようにして尤度関数を決定するのですか？指数分布のpdfを調べましたが、違います。それで、問題の中で尤度関数は常に私に与えられますか？それとも自分で決定する必要がありますか？もしそうなら、どうですか？$\theta$$log f_{3}(x|\theta)$

標本の尤度関数は、関与する確率変数の結合密度ですが、これらの確率変数からの実現の特定の標本が与えられた場合、未知のパラメーターの関数と見なされます。

あなたの場合、ここでの仮定は、これらの電子コンポーネントの寿命がそれぞれ従う（つまり、周辺分布がある）、同じレートパラメーター指数分布であるため、限界PDFは次のようになると思われます。$\theta$

$$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$$

また、各コンポーネントの寿命は、他のコンポーネントの寿命から完全に独立しているようです。このような場合、結合密度関数は3つの密度の積です。

$$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

これをサンプルの尤度関数に変換するために、の特定のサンプルが与えられた場合、それを関数と見なします。$\theta$$x_i$

$$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

関数の変数と見なされるものを示すために、左側のみが変更されています。あなたの場合、利用可能なサンプルは、3つの観測された寿命なので、です。次に、可能性は$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$$\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

$$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$$

言い換えれば、あなたが与えられた可能性では、利用可能な特定のサンプルがすでにそれに挿入されています。これは通常行われません。つまり、通常、一般的なの可能性の理論的表現で「停止」し、次にに関する最大化の条件を導き出します。次に、特定の数値の最大化条件に接続します特定の推定値を取得するための値のサンプル。 $x_i$$\theta$$x$$\theta$

確かに、このような可能性を見ると、ここで推論（特定の分布の仮定）で重要なのは実現の合計であり、個々の値ではないという事実がより明確になる場合があります。上記の可能性は「サンプルではありません」 -specific」ではなく「sum-of-realizations-specific」：要素の合計がである他のサンプルが与えられた場合、（これは基本的にはこれは、が「十分な」統計であることを意味します- 特定の分布の仮定の下で、サンプルが推論に提供できるすべての情報が含まれます）。$n=3$$6.6$$\theta$$\sum x$