正規分布の高次積への期待

平均ゼロと共分散行列Σを持つ2つの正規分布変数とX 2があります。E [ X 2 1 X 2 2 ]の値をΣのエントリで計算することに興味があります。$X_1$$X_2$$\Sigma$$E[X_1^2 X_2^2]$$\Sigma$

総確率の法則を使用して、 が、内部の期待値が何になるのかわかりません。ここに別の方法はありますか？$E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

ありがとう。

編集：変数も多変量正規分布です。

期待は明らか二乗スケールファクタの積に比例する。比例定数を減少させる変数、標準化することによって得られるΣの相関を有する相関行列にはρ = σ 12 / $\sigma_{11}\sigma_{22}$$\Sigma$。$\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

2変量正規性を仮定すると、https：//stats.stackexchange.com/a/71303の分析によると、変数を次のように変更できます

$$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$$

ここで、は標準（無相関）の2変量正規分布を持ち、計算する必要があるだけです$(X,Y)$

$$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$$

$c$$Y$$X_2$$X_1$

$$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$$

ことに注意してください$X$$Y$

$$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$$

$\sigma_{11}\sigma_{22}$

$$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$$

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$(X_1,X_2)$$(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$$X$$Y$

$$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

$k\ge 0$

$$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$$

（他のすべての単項式の期待値はゼロに等しい）。これは超幾何関数にほぼ比例します（ほとんどの場合、定義により：関係する操作は深くも有益でもありません）、

$$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$$\rho$