「ロバスト統計：影響関数に基づくアプローチ」の2.2a.16を実行するためのソリューション

ロバスト統計の 180ページ：影響関数に基づくアプローチには、次の質問があります。

16：示すことが常に位置不変の推定のための。が奇数またはが偶数の場合の両方で、有限標本分解点の対応する上限を求めます。 $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

2番目の部分（ピリオドの後）は実際には取るに足らない（最初の部分を与える）ですが、質問の最初の部分（文）を証明する方法を見つけることができません。

この質問に関する本のセクションでは、次のことがわかります（p98）。

定義2：サンプルにおける推定量の有限サンプル分解点は、で与えられます $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
$(z_1,\ldots,z_n)$ $m$ $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ $y_1,\ldots,y_m.$

$\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

以下のコメントでwhuberの質問に（私が）答えます。この本は、推定量がp82から始まる数ページであると定義しています。私は主要な部分を再現しようとしています（whuberの質問に答えると思います）。 $T_n$

$(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

$(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

$T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
ソース

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

@whuber：ありがとう、あなたの反例を理解しました。私は著者に連絡して詳細を尋ねると思います...

— user603

古い統計の本では、「不変」を予想とは少し異なる方法で使用していました。あいまいな用語は存続します。より近代的な同等物は「等価」です（この投稿の最後にある参考文献を参照）。現在の文脈では

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

$c$

$T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

$\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

$n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

$T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

$m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

そして

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

$c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

$n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

参考文献

ELレーマン、点推定理論。ジョン・ワイリー1983。

本文（第3章、セクション1）および付随する脚注Lehmannは、

$\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

$X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— whuber
ソース

はい、私は昨日、本の主著者に、使用した不変性の実際の定義について同じ質問をしました（索引を調べたところ、本の中でそれを明確に見つけることができませんでした）。私はあなたの答えが正しいと思うので賛成しましたが、著者がそれを受け入れる前に確認するために数日を与えます。

— user603

著者からの回答は得られませんでしたが、（回答とコメントで）上記の議論により、これは実際に問題の正しい解釈であるに違いないと確信しました。

— user603