タイプIおよびIIのエラーの確率は負の相関関係がありますか？

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私がTAだった初等統計クラスで、教授は、タイプIエラーの確率が増加するにつれて、タイプIIエラー確率が減少し、その逆も真であると述べました。したがって、これはことを私に示唆してい。 $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

しかし、一般的な仮説検定でこれをどのように証明しますか？声明は一般的にも真実ですか？

特定のケース（たとえば、および）を試すこともできますが、明らかに、この質問を処理するには一般的ではありません。 $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— クラリネット奏者
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これらの量（と）はランダム変数ではないので、ピアソン相関について話すのをためらいます。それがどのような意味で適用されるかはわかりません。 $\alpha$ $\beta$

2つは、合理的に一般的に言えば（ただし、以下を参照*）-他のもの（サンプルサイズとを計算する効果サイズなど）を等しく保つという意味で負の関係にあります-を変更すると、反対方向に移動します（特に、通常の状況では、は関数です。を決定するのに十分な量を指定します。これは依存します。そして、その関係は、最も合理的な状況では、実際のテストで使用したい-負に依存している）。 $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

たとえば、いくつかの電力曲線を考えます。を移動すると、パワーカーブ（）が上下に移動するため、が増加するにつれて、カーブ上のあるポイント（カーブと1の間の距離）のが減少します。これは、両側検定（たとえば、t検定）の例です。 $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

ここに画像の説明を入力してください

片側の場合も同様ですが、上の画像の右半分に焦点を合わせます（画像の左半分の2つの曲線はゼロに向かって下向きになります）。

*これが当てはまる必要のない状況もあります。コルモゴロフ・スミルノフ検定を介して、ユニフォーム（0,1）のテストを検討してください。

代わりに、（または、実際には、単位間隔の外に何らかの確率がある分布ユニフォームがある可能性を考えてみましょう。 $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

（0,1）にない値を観察した場合、コルモゴロフスミルノフ検定は必ずしもnullを拒否しません。しかし、2番目の検定（KS *検定と呼ぶことにしましょう）を作成できます。これは、（0,1）の外側の値を観察するときに、通常の統計であるかどうかに関係なくnullも拒否することを除いて、コルモゴロフ-スミルノフのようなものです臨界値に達する。

次に、（0,1）以外の確率を持つ代替案では、をまったく変更せずに、タイプIIのエラー率を（通常のKSテストのエラー率から）減らしました。 $\alpha$

$\dagger$ （その場合、通常KSを使用するのは良い考えではありません。そのため、可能性があることがわかっている場合は、代替案について慎重に検討する必要があります）

— Glen_b-モニカの復活
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LET 密度で観察を表し又は仮説として記載又は真です。ましょう及び表す決定領域。従って、、及び決定は、という点である真のIFFで $X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ 。次に、タイプIおよびタイプIIのエラー確率は $X \in \Gamma_i$ 2つの考えてみて、他の意思決定領域およびようと。今、

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

は、積分がより大きなセットを超えているためです。これは、新しい決定規則のType Iエラー確率がより大きいことを意味します。しかし、また、注意して

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

理由は、積分がより小さいセットを超えているため、新しい決定ルールのType IIエラー確率が小さいためです。

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— ディリップ・サルワテ
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$\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

$\alpha$ $\beta$

— コートアンモン
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「関係はただ」-あなたの答えの最後が途切れたようです？

— Silverfish、2015年