関連する合計のみからバッグ内の果物の量を推定しますか？

私の大学のインストラクターがこのような質問をしました（クラスが終わって私がそこにいなかったので宿題ではありません）。どうすればいいのかわからない。

問題は、それぞれがさまざまな種類の果物を含む2つのバッグに関するものです。

最初の袋には、次のランダムに選択された果物が含まれています。

+ ------------- + -------- + --------- +
| 直径cm | 質量g | 腐った？|
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17.28 | 139.08 | 0 |
| 6.57 | 91.48 | 1 |
| 7.12 | 74.23 | 1 |
| 16.52 | 129.8 | 0 |
| 14.58 | 169.22 | 0 |
| 6.99 | 123.43 | 0 |
| 6.63 | 104.93 | 1 |
| 6.75 | 103.27 | 1 |
| 15.38 | 169.01 | 1 |
| 7.45 | 83.29 | 1 |
| 13.06 | 157.57 | 0 |
| 6.61 | 117.72 | 0 |
| 7.19 | 128.63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

2番目のバッグには、最初のバッグと同じストアからランダムに選択された6つの果物が含まれています。それらの直径の合計は64.2 cmで、4つは腐っています。

2番目のバッグの質量を見積もります。

直径と質量が正規分布している2種類の果物があるように見えますが、どうすればよいか迷っています。

まずデータをプロットして、それを見てみましょう。これは非常に限られた量のデータであるため、これは多くの前提条件を備えたややアドホックです。

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

これがデータです。赤い点は腐った果物を表しています。

実は2種類あるそうです。私の仮定は次のとおりです。

• 直径は果物を2つのグループに分けます
• 直径が10を超える果実は1つのグループに属し、他のグループは小さいグループに属します。
• 大きな果物グループには腐った果物が1つしかありません。果物が大きなグループにある場合、腐敗しても体重に影響がないと仮定しましょう。そのグループにはデータポイントが1つしかないため、これは不可欠です。
• 果物が小さな果物である場合、腐っていることが塊に影響します。
• 変数diamとmassが正規分布していると仮定しましょう。

直径の合計が64.2 cmであることが示されているため、2つの果物が大きく、4つの果物が小さい可能性が最も高いです。これで、重量の3つのケースがあります。腐った小さな果実が2、3、または4つあります（腐った大きな果実は、仮定によって質量に影響しません）。したがって、これらの値を計算することにより、質量の境界を取得できます。

腐った小さな果物の数の確率を経験的に推定できます。腐った果物の数に応じて、質量の推定値に重みを付けるために確率を使用します。

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

691.5183gの最終見積もりをください。私が結論を出すには、ほとんどの仮定を行う必要があると思いますが、もっと賢い方法でこれを行うことが可能かもしれないと思います。また、腐った小さな果物の数の確率を取得するために、経験的にサンプリングします。

私は次のアプローチを提案します：

1. 4つの腐敗の条件を満たすすべての6タプルを生成します。それらはです。${6\choose 4}{7\choose 2}$
2. 生成されたタプルから、直径の条件を満たすもののみを選択します。
3. 選択したタプルの平均重みを計算します（通常は算術平均）。

これらはすべて、単純なスクリプトで管理できます。

複数のアプローチには、最も単純なものから複雑なものまで、

1. 6（平均質量）
2. 6（平均体積）（平均密度）
3. 4（平均腐った質量）+ 2（平均腐っていない質量）
4. 4（（平均腐った体積）+ 2（平均非腐敗した体積））（平均密度）
5. 4（平均腐った体積）（平均腐った密度）+ 2（平均非腐敗した体積）（平均非腐敗した密度）

。。。

組み合わせメソッド

アプローチは、計算が単純になる順に並べられており、どのアプローチが優れている、または少しも良い順ではありません。使用するアプローチの選択は、母集団のどの特性が既知または想定されているかによって異なります。たとえば、店の人口の果物の質量が通常分布していて、直径や腐敗状態に依存しない場合、より複雑なアプローチを使用することの利点（または複数の変数のサンプリングエラーの欠点）のない最初の最も単純なアプローチを使用できます。 。独立して同一に分布した確率変数でない場合は、母集団に関する既知の情報または想定される情報に応じて、より複雑な選択を行うことをお勧めします。