iidの描画のペアの最大値の分布とは何ですか？最小値は他の最小値の次数統計です？

検討する $n\cdot m$ cdfからの独立した描画 $F(x)$、これは0-1で定義され、 $n$ そして $m$整数です。ドローを任意にグループ化$n$各グループにm値を持つグループ。各グループの最小値を見てください。これらの最小値が最も大きいグループを取り上げます。さて、そのグループの最大値を定義する分布は何ですか？より一般的には、$j$-次の統計 $m$ のドロー $F(x)$、それらのmドローのk次は、そのk次統計のnドローのp次でもありますか？

これらはすべて抽象的なものなので、より具体的な例を次に示します。8回の抽選を検討してください$F(x)$。それらを2の4つのペアにグループ化します。各ペアの最小値を比較します。これらの4つの最小値の最も高いペアを選択します。「a」を描くラベル。同じペアのもう一方の値に「b」というラベルを付けます。分布とは$F_b(b)$？知ってる$b>a$。aは4の最小値の最大値です。$F(x)$、の $F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$。とは$F_b(b)$？

私はこれに答えます：「ドローを各グループのm値でnグループに任意にグループ化します。各グループの最小値を見てください。これらの最小値が最大であるグループを取り上げます。さて、最大値を定義する分布は何ですか？そのグループの？」
しましょう$X_{i,j}$ グループjのi番目の確率変数と $f(x_{i,j})$ （$F(x_{i,j})$）その密度（cdf）関数。
しましょう$X_{\max,j}, X_{\min,j}$グループ最大値と最小値。ましょう可変そのすべてのプロセスの終了時に結果。我々は、計算したいある 次に、および。 $j$$X_{final}$$P(X_{final}<x)$

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$$W=X_{1,1}$

注意：がpdf（cdf）（）でiidの場合、はpdfとはpdfます。 この使用して、我々は得るのPDFであり $X_1,\ldots X_n$$h$$H$$X_{\min}$$h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$$X_{\max}$$h_{max}=nhH^{n-1}$
$Y$

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

そのノート群1から独立しているので、グループ1内の任意の変数とのジョイント密度が密度の積である統計です。 これで、上記の確率は この積分wrt導関数を取り、二項式を使用することにより、確率密度関数を取得します。 $Y$

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ $x$$X_{final}$

例：は均一、、。次に、$X$$n=4$$m=3$

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

平均あるとそのSDである。$X_{final}$$374/455=0.822$$0.145$

ドローはiidサンプルからのものであるため、選択されたドローのみを考慮することができます。考えます。これで、がからであり、あることがわかります。そう、$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$$b$$f(x)$$b>a$

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

2のドローの最小は、 $m$

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

4回の抽選の中で最大の最小値は

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

最後に、

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$