なぜ漸近正規性の定義でなのか？

パラメータの推定器のシーケンスは、場合、漸近的に正常です。（ソース）次にを漸近分散と呼びます。この分散がCramer-Raoの境界に等しい場合、推定器/シーケンスは漸近的に効率的であると言います。 $U_n$ $\theta$ $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

質問：なぜを特に使用するのですか？ $\sqrt{n}$

サンプル平均では、であるため、この選択により正規化されます。しかし、上記の定義はサンプル平均以上に適用されるため、なぜ正規化することを選択するのでしょうか。 $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— 無知
ソース

良好な推定のために、平均有するべき、パラメータが推定され、およびの分散に収束するべき、分布され、で単一原子と退化分布に収束しなければならない。しかし、この収束はさまざまな方法で発生します。たとえば、またはなどです。後者の場合には漸近的に通常のスーブリケットを適用しますが、前者の場合には適用しません。

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— ディリップサルワテ

効率的な推定量は漸近的に正常です。en.wikipedia.org/wiki/…–

— Khashaa

この質問は、「漸近的効率」よりも「漸近的正常性」というタイトルの方が適切でしょうか？「漸近的正常性」に出会った文脈だけでなく、「効率」が問題の実質的な側面になるのは、私には明らかではありません。

— シルバーフィッシュ

MLEの漸近的正常性の証明を確認するだけです！平方根は、中央平均定理をサンプル平均に適用できるようにすることです！

n

$n$

— メガデス

回答:

ここでは選択できません。「正規化」因子は、本質的には、「有限有限への分散安定化」因子です。したがって、式は、サンプルサイズが無限大になるとゼロまたは無限大にならず、限界に分布を維持します。

そのため、それぞれの場合に必要なものでなければなりません。もちろん、多くの場合、でなければならないことが明らかになっています。（ただし、以下の@whuberのコメントも参照してください）。 $\sqrt n$

標準化係数がではなくでなければならない標準的な例は、モデルがある場合です $n$ $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + {あなたは}_{t} 、 y_{0} = 0 、 t = 1 、 。 。 。 、 T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

ホワイトノイズ、そして我々は、未知の見積もり最小二乗で。 $u_t$ $\beta$

係数の真の値がになった場合、OLS推定器は一貫しており、通常のレートで収束します。 $|\beta|<1$ $\sqrt n$

しかし、代わりに真の値が（つまり、実際には純粋なランダムウォークがある場合）、OLS推定器は一貫していますが、レートで「より速く」収束します（これは「超一貫性」推定器と呼ばれることもあります-なぜなら、非常に多くの推定量がレートで収束するからです。この場合には、その（非正規）漸近分布を得るために、我々は持っている規模にで（私たちはだけスケール場合式がゼロになります）。Hamilton ch 17に詳細があります。 $\beta=1$ $n$ $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ $\sqrt n$

— アレコスパパドプロス
ソース

アレコス、モデルで推定されているものを明確にできますか（を意味し、観測値にはなどが添えられているとます）。モデル、OLS推定器はに対してレートで収束しますかしかし、収束がレート、またはモデルで収束が常にレートですか？要するに、ステートメントの重要性は何ですか」と

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$ 、つまり純粋なランダムウォーク。」

— ディルプサルワテ

@DilipSarwateありがとう。更新しました。今ははっきりしていると思う。

— アレコスパパドプロス

（+1）（またはまたは適切なもの）の選択は一意ではないことに注意することは価値があり、有益です。その代わりに、の制限値が等しい関数を使用できます。この広義の意味でのみ、「あるべき姿にならなければならない」。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa OPは漸近効率について質問しましたが、その過程で、OPが「正規化」要因について間違った印象を持っている可能性があることが明らかになりました。これはより根本的な問題なので、回答でこれを取り上げることにしました。効率についての私の答えには何も述べられていません。

— アレコスパパドプロ

おそらく、あなたの答えで、

ではなく

の場合を言及する価値があります

n

$n$

は「スーパーコンシステント」と呼ばれますか？現在、サイトの検索機能が取得できるCVの「スーパーコンシステント」に関する他の言及は、アレコスによる別の1つだけです。QsおよびAsをより検索しやすくすることは良い考えだと思います。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— シルバーフィッシュ

サンプルの平均分散直観で正しい軌道に乗っていました。条件を再配置します。

\sqrt{n} （ {うん}_{n} - θ ） \to N （ 0 、 v ）

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

（ {うん}_{n} - θ ） \to \frac{N （ 0 、 v ）}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

{うん}_{n} \to N （ θ 、 \frac{v}{n} ）

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

最後の式は非公式です。ただし、何らかの方法でより直感的です。つまり、が増加すると、からのの偏差は正規分布のようになります。分散は小さくなりますが、形状は正規分布に近くなります。 $U_n$ $\theta$ $n$

数学では、変化する右側への収束を定義しません（は変化します）。それが、同じアイデアがあなたが与えた元の条件として表現される理由です。右側が固定され、左側がそれに収束します。 $n$

— アクサカル
ソース

「再配置」の方法を説明できます。適用するプロパティが好きです。

— mavavilj