さまざまな分布の絶対偏差（MAD）およびSDの中央値

正規分布データの場合、標準偏差 $\sigma$ と絶対偏差中央値 $\text{MAD}$ は次の関係にあります。

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

ここで、 $\Phi()$ は標準正規分布の累積分布関数です。

他の分布にも同様の関係はありますか？

distributions standard-deviation mad

— vic
ソース

どのディストリビューションを念頭に置いていましたか？

— GUNG -復活モニカ

特定の配布はありません。奇妙なデータセットに出くわしたばかりで、定数の値に可能な範囲があるかどうか知りたいのですが

— ...-vic

はい、多くのディストリビューションで-しかし、数字は異なります。

— Glen_b-モニカの復職

MADをSDに変換する可能性のある値の範囲を知りたい場合は、質問でそれを聞かないでください。

— Glen_b-モニカの復職

「MAD」が何であるかを説明してください：それは複数の従来の意味を持っています！（そして、両方とも正規分布に同じ値を与えます。）

— whuber

回答:

コメントで質問に対処するには：

定数の値の可能な範囲があるかどうかを知りたい

（質問は、中央値からの中央値の偏差に関することを意図していると思います。）

SDとMADの比率は、任意に大きくすることができます。

SDとMADの比率を指定して分布を取ります。分布の中央のを固定します（つまり、MADは変更されません）。尾をさらに外側に移動します。SDが増加します。指定された有限の境界を超えて移動し続けます。 $50\%+\epsilon$
SDとMADの比率は、パッティング（例えば）によって所望のようにでと0に。 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

私はそれが行くと同じくらい小さいだろうと思います。

ここに画像の説明を入力してください

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

「MAD」の解釈は、平均値または中央値からの絶対絶対偏差の中央値ですか（これはよく使用され、西安の回答では明示的に解釈されます）。

— whuber

@whuber-明確にすることが重要です、ありがとう。西安がそうであるように、私はそれを中央値からと解釈しています。（どこかでエラーが発生しましたか？）

— Glen_b-モニカの復帰

私はエラーを見ませんでした-質問またはあなたの答えのどちらが意図された解釈であるか明確ではありませんでした（いくつかの分析では、読者はあなたが使用しているものを把握できました）。私はほんの数週間前に平均からの逸脱解釈についての質問を見たことを思い出します。

— whuber

密度を持つ任意の分布のために、中央絶対偏差は次式で与えられここで、の累積分布関数であり、そしての累積分布関数である。 $f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

例ではとき標準偏差は唯一のパラメータであるとき、すなわち、そのための決定的関数です。 $\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
$\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— 西安
ソース