十分性または不十分性

ランダムサンプル検討Xはiは IIDである BのEのRがN 、O 、U 、L L I （P ）の確率変数P ∈ （0 、1 ）。T （X ）= X 1 + 2 X 2 + X 3がpの十分な統計であるかどうかを確認し ます。$\{X_1,X_2,X_3\}$$X_i$$Bernoulli(p)$$p\in(0,1)$$T(X)=X_1+2X_2+X_3$$p$

まず、の分布をどのように見つけることができますか？または、それをX 1 + X 2 + X 2 + X 3に分解すると、これはB i n （4 、p ）に従いますか？すべての変数がここで独立しているわけではないことに注意してください。$(X_1+2X_2+X_3)$$X_1+X_2+X_2+X_3$$Bin(4,p)$

代替的に、私はちょうどの関節PMF考慮して分解条件を採用した場合次に、F （X 1、X 2、X 3）= P 、X 1 + X 2 + X 3（1 - p ）3 − （x 1 + x 2 + x 3） = [ p $(X_1,X_2,X_3)$ここで、t（x）= x 1 +2 x 2 + x 3です。$f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$$t(x)=x_1+2x_2+x_3$

これは、が十分でないことを示しています。$T$

しかし、定義に従って、f （X | p ）を適用したい場合は、この比率がpから独立しているかどうかをチェックしますか？次に、gの分布を知る必要があります。では、T（X）=X1+2X2+X3の分布はどうでしょうか。$\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$$p$$g$$T(X)=X_1+2X_2+X_3$

$\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$$x$$p$

$x=(1,0,1)$$T(1,0,1)=2$$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

$$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$$ $$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$$ $$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$$

$$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$$ $p$$T$