Engle–Granger 2ステップ法を使用して、2つの時系列間の共積分をテストします

2つの時系列間の共和分をテストしようとしています。両方のシリーズには、約3年にわたる週次データがあります。

Engle-Granger Two Step Methodをやろうとしています。私の操作の順序は次のとおりです。

1. Augmented Dickey-Fullerを介してユニットルートの各時系列をテストします。
2. 両方に単位根があると仮定し、OLSを介して関係の線形近似を見つけます。次に、一連の残差を作成します。
3. Augmented Dickey-Fullerを介してユニットルートの残差をテストします。
4. 3の結果により、共和分を終了します（またはしない）。

質問：

1. この方法は大丈夫ですか？（私は学部生であり、データを正当な方法で分析したいと考えています。必ずしも最も厳密な既知の方法でデータを分析する必要はありません。）
2. ステップ1で1つのシリーズが ADFを使用して帰無仮説を拒否できない（したがって、単位根がない）場合、1つのデータセットが非定常であるため、2つのシリーズは共和化しないと結論付けるのは合理的ですか？私はそうは思わないだろうが、私は確信したい。
3. 両方のデータセットは「確率論的」に見えるため、OLSを使用して関係を測定して残差を取得することが適切かどうか疑問に思っています。

まず、両方がI （1 ）である2つの時系列とx 2 tを考えます。つまり、両方の系列には単位根が含まれます。これらの2つのシリーズがコインテグレートした場合、その後の係数、そこに存在するμおよびβ 2：よう、 $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

平衡を定義します。Engle-Grangerの2ステップアプローチを使用して共和分をテストするには、

$\\$ 1）シリーズ、およびの単位根をテストします。両方が場合、手順2）に進みます。 x 2 t I（1 $x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2）上記で定義した回帰式を実行し、残差を保存します。新しい「エラー修正」用語ます。$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3）単位根の残差（）をテストします。帰無仮説では残差は定常的ではないため、この検定は非共積分の検定と同じであることに注意してください。ただし、共和分がある場合、残差は静止している必要があります。残差ベースのADFテストの分布は通常のDF分布と同じではなく、静的回帰の追加変数がDF分布をDF分布にシフトするため、上記の静的回帰の推定パラメーターの量に依存することに注意してください。左。定数およびトレンドを使用した静的回帰の1つの推定パラメーターの5％臨界値は、それぞれ-3.34および-3.78です。 $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4）残差の単位根のヌル（非統合のヌル）を拒否する場合、2つの変数が共積分することを拒否することはできません。 $\\$

5）エラー修正モデルを設定し、2つのシリーズ間の長期的な関係を調査する場合は、Engle-に小さなサンプルバイアスが付加されているため、代わりにADLまたはECMモデルを設定することをお勧めしますGranger静的回帰と分布は未知のパラメーターに依存するため、静的回帰の推定パラメーターの重要性については何も言えません。質問に答えるには：1）上記のように、メソッドは正しいです。残差ベースのテストの重要な値は、通常のADFテストの重要な値とは異なることを指摘したかっただけです。 $\\$

$\\$

（2）シリーズの1つが静止している場合、つまりで、もう1つが場合、共和化は共通の確率的傾向を共有し、線形確率的傾向がキャンセルされ、それによって定常的な関係が生じるため、それらの間の関係は定常的です。これを確認するには、2つの方程式を検討してください。 I （1 $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

そのノート、、、、X 1 、T〜I （1 ）X 2 T〜I （1 ）U T = β ' X T〜I （0 ）ε 1 、T〜I 。私は。d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

最初に方程式を解き、を取得します $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

このソリューションを方程式に代入して、次を取得します。 $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

2つのシリーズで共通の確率的傾向が見られます。我々は、次に共和分ベクトルを定義することができるよう： $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

正しい共積分ベクトルを定義することにより、2つの確率的トレンドがキャンセルされ、それらの間の関係が定常的であることがわかります（）。場合あったで、次いで確率的傾向共和分関係を定義することにより、削除されないであろう。そのため、両方のシリーズをする必要があります！ $u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

（3）最後の質問。はいOLSは、静的回帰のOLS推定量（Eq。）が非常に一貫している（で分散がゼロに収束する）ことを示すことができるため、2つの確率シリーズで使用できます。）両方のシリーズがで、それらが共和分である場合。したがって、共和分を見つけ、系列が、推定値は非常に一貫しています。共積分が見つからない場合、静的回帰は一貫していません。詳細については、1987年のEngle and Grangerによる独創的な論文、Co-Integration、Error Correction：Representation、Estimation and Testingを参照してください。$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$