R二乗の興味深い導出

数年前、私はデータと変換を試す実験を通してこのアイデンティティを発見しました。それを私の統計学の教授に説明した後、彼は次のクラスに来て、ベクトルと行列表記を使用した1ページの証明を行いました。残念ながら私は彼がくれた紙をなくしました。（これは2007年に戻ったものです）

誰かが証明を再構築できますか？

してみましょう元のデータポイントも。元のセットを角度だけ回転して、新しいデータポイントのセットを定義します。これらの点をます。$(x_i,y_i)$$\theta$$(x'_i,y'_i)$

元の点のセットのR二乗値は、新しい点のセットの各座標の標準偏差の自然対数のに関する導関数の負の積に等しく、それぞれ評価され$\theta$$\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

派生は、記号操作の特に興味深い演習ではありません。以来、 、

$$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$$ $s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$ $$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$$ $$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$$

$$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$$ あり、結果は次のとおりです。

どのようにしてそのような方程式を思いついたのか、特に特定の実験がそのようなアイデンティティを明らかにしたことを知りたいです。