従属変数の合計の平均をどのようにして見つけるのですか？

独立変数の合計の平均は、各独立変数の平均の合計であることを知っています。これは従属変数にも当てはまりますか？

mean non-independent

— Gh75m
ソース

@feetwet、「感謝」を削除するだけでは、18か月前からスレッドを増やすほど重要ではありません。FWIW、私はこの編集を拒否することを票決しました（しかし、他の2人は承認したので、そうでなければ私のコメントを見ることはないでしょう）。

— GUNG -復活モニカ

@gung-あらゆる種類のものが「アクティブ」な質問ビューを混乱させる可能性があります。あなたの観察は頻繁に行われていますが、スタック交換ポリシーによれば、その欠点にもかかわらず、有効なマイナーな編集は良いことです。

— フィートウェット

@ feetwet、meta.Photographyの投稿がどれほど関連しているかはわかりません。各SEサイトには独自のメタがあり、コミュニティによって決定された独自のポリシーがあります。関連するmeta.CVスレッドを見てください。たとえば、次のようになります：投稿に対する「提案された編集」の処理。あなたはwhuberの答えを引用することに気付くかもしれません。ジェフ・アトウッドは、「投稿から敬礼だけを削除するような、ちょっとした編集[...]。編集が小さすぎると、質問の年齢に反比例します」。

— GUNG -復活モニカ

@gung 写真投稿では、このテーマに関する重要かつ最新のMeta Stack Exchange Q＆Aへのリンクを参照しました。しかし、whuberの4歳の答えがCross Validatedにとってまだ標準的なものである場合、今後もそれを尊重します。

— フィートウェット

回答:

期待（平均を取る）は線形演算子です。

これは、特に、独立しているかどうかに関係なく、2つのランダム変数および（期待値が存在する）の $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ であることを意味します $X$ $Y$

各期待値が存在する限り、なるように一般化できます（例えば帰納法により。 $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ $\mathbb{E}(X_i)$

そのため、変数が従属している場合でも、合計の平均は平均の合計と同じです。ただし、これは分散には適用されないことに注意してください！つつ $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ 独立変数、またはであっても変数の依存性が、無相関、一般式は $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ ここで、 $\mathrm{Cov}$ は変数の共分散です。

— 銀魚
ソース

TL; DR：
それが存在すると仮定すると、平均は期待値であり、期待値は積分であり、積分は合計に関して線形性を持ちます。

TS; DR：
ランダム変数の合計、すなわちそれらの多くの関数を扱っているため、合計の平均はそれらの共同分布（我々は、すべての手段）を示す存在し、有限であると仮定多変量ベクトル RVのは、共同密度は次のように書くことができる $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $E(Y_n)$ $\mathbf X$ $n$ $f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$ $D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

E [Y_{n}] = \int_{D} Y_{n} f_{X} (x) d x

$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$

$n$

E [Y_{n}] = \int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{1}}} [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}] f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{n}

$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$

and using the linearity of integrals we can decompose into

= \int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{1}}} x_{1} f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{n} + . . . . . . + \int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{1}}} x_{n} f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{n}

$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$

For each $n$ -iterative integral we can re-arrange the order of integration so that, in each, the outer integration is with respect to the variable that is outside the joint density. Namely,

\int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{1}}} x_{1} f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{n} = \int_{S_{X_{1}}} x_{1} \int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{2}}} f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{2} . . . d x_{n} d x_{1}

$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$

and in general

\int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{j}}} . . . \int_{S_{X_{1}}} x_{j} f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{j} . . . d x_{n} =

$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$

= \int_{S_{X_{j}}} x_{j} \int_{S_{X_{n}}} . . . \int_{S_{X_{j - 1}}} \int_{S_{X_{j + 1}}} . . . \int_{S_{X_{1}}} f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{j - 1} d x_{j + 1} . . . . . . d x_{n} d x_{j}

$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$

As we calculate one-by-one the integral in each $n$ -iterative integral (starting from the inside), we "integrate out" a variable and we obtain in each step the "joint-marginal" distribution of the other variables. Each $n$ -iterative integral therefore will end up as $\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$ .

Bringing it all together we arrive at

E [Y_{n}] = E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}] = \int_{S_{X_{1}}} x_{1} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} + . . . + \int_{S_{X_{n}}} x_{n} f_{X_{n}} (x_{n}) d x_{n}

$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$

But now each simple integral is the expected value of each random variable separately, so

E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}] = E (X_{1}) + . . . + E (X_{n})

$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$

= \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})

$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$

Note that we never invoked independence or non-independence of the random variables involved, but we worked solely with their joint distribution.

— Alecos Papadopoulos
ソース

@ssdecontrol This is one upvote I do appreciate, indeed.

— Alecos Papadopoulos

The expansion into iterated integrals and back again is unnecessary. It complicates a simple argument. You could replace the "TS;DR" section with its last sentence and have a fine answer.

— whuber

@whuber One and a half years later, it still escapes me (I mean, without using the "linearity of the expectation operator" fact, that has already been used by the other answer). Any hint so I can rework the answer towards this simple argument?

— Alecos Papadopoulos

I think the argument is superfluous. The key to the whole thing is your observation in the last sentence.

— whuber