サイコロを落とすための式（非ブルートフォース）

まず第一に、この質問をどこに投稿すべきかわからない。統計の問題がNP-Completeであるかどうか、およびプログラムでそれを解決しないかどうかを尋ねています。統計問題が中心点であるため、ここに掲載しています。

私は問題を解決するためのより良い式を見つけようとしています。問題は、4d6（通常の6面のサイコロ4枚）を持っている場合、それらを一度に振って、最も小さい数字（「ドロップ」と呼ばれる）のダイスを取り除き、残りの3を合計して、それぞれの可能な結果の確率です？私は答えがこれであることを知っています：

Sum (Frequency): Probability
3   (1):         0.0007716049
4   (4):         0.0030864198
5   (10):        0.0077160494
6   (21):        0.0162037037
7   (38):        0.0293209877
8   (62):        0.0478395062
9   (91):        0.0702160494
10  (122):       0.0941358025
11  (148):       0.1141975309
12  (167):       0.1288580247
13  (172):       0.1327160494
14  (160):       0.1234567901
15  (131):       0.1010802469
16  (94):        0.0725308642
17  (54):        0.0416666667
18  (21):        0.0162037037

平均は12.24で、標準偏差は2.847です。

私は上記の答えをブルートフォースで見つけましたが、どのように、または公式が存在するのかわかりません。この問題はNP完全であると思われるため、ブルートフォースによってのみ解決できます。3d6（3つの通常の6面のサイコロ）のすべての確率を取得し、それぞれを上に傾けることが可能です。私はすべてのサイコロが保持されているとき、私は高速式を持っているので、これはブルートフォースよりも速くなります。

私は大学ですべてのサイコロを保持するための式をプログラムしました。私は統計学の教授にそれについて尋ねたところ、彼はこのページを見つけました。このフォーミュラとブルートフォースには大きなパフォーマンスの違いがあります。50d6は20秒かかりましたが、8d6は40秒後に最低のクラッシュを落とします（クロームはメモリ不足になります）。

この問題はNP-Completeですか？ はいの場合、証拠を提供してください、いいえの場合、それを解決するために非総当たり式を提供してください。

NP-Completeについてはあまり知らないので、NP、NP-Hard、または他の何かを考えているかもしれません。NP完全性の証明は役に立たない。私がそれを求める唯一の理由は、人々が推測するのを防ぐことだ。そして、私がこれに取り組んでから長い時間がかかっているので、私と一緒に裸にしてください：統計を覚えていないし、これを解決する必要があるかもしれません。

理想的には、N個のサイコロのN個がドロップされたときに、Y個のサイコロのX個のより一般的な式を探していますが、もっと単純なものから始めています。

編集：

また、周波数を出力するよりも数式を使用しますが、確率のみを出力することもできます。

興味がある人のために、私はGitHubでJavaScriptでwhuberの答えをプログラムしました（このコミットでは、テストでは実際に定義された関数を使用しています）。

解決

ことが聞かせての結果に等しいチャンスを与えるダイスそれぞれ1 、2 、... 、D = 6。してみましょうKは、すべての値の最小値でn個のサイコロを独立にスローされます。$n=4$$1, 2, \ldots, d=6$$K$$n$

Kを条件とするすべての値の合計の分布を考慮します。ましょXは、この合計になります。最小値が少なくともkである場合、Xの任意の値を形成するいくつかの方法の生成関数は、$n$$K$$X$$X$$k$

$$f_{(n,d,k)}(x) = x^k+x^{k+1} + \cdots + x^d = x^k\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}.\tag{1}$$

サイコロは独立しているため、すべてのn個のサイコロがk以上の値を示す値を形成するいくつかの方法の生成関数は、$X$$n$$k$

$$f_{(n,d,k)}(x)^n = x^{kn}\left(\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}\right)^n.\tag{2}$$

この生成関数には、がkを超えるイベントの項が含まれているため、それらを減算する必要があります。このための値を形成するための多くの方法のための生成機能Xを与え、K = kは、あります$K$$k$$X$$K=k$

$$f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n.\tag{3}$$

和と指摘の最高値はすべての値の和であるマイナス最小に等しいX - K。したがって、生成関数はkで割る必要があります。これは、サイコロの任意の組み合わせの一般的な確率（1 / d ）nを掛けると、確率生成関数になります。$n-1$$X-K$$k$$(1/d)^n$

$$d^{-n}\sum_{k=1}^dx^{-k}\left(f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n\right).\tag{4}$$

すべての多項式の積と累乗は演算で計算できるため（畳み込みであり、したがって離散高速フーリエ変換で実行できます）、総計算量はO （$O(n\log n)$。特に、それは多項式時間アルゴリズムです。$O(k\,n\log n)$

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例

とd = 6の質問の例を見てみましょう。$n=4$$d=6$

式のPGFのためにXを条件K ≥ kが得られます$(1)$$X$$K\ge k$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x) &= x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ f_{(4,6,2)}(x) &= x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x) &= x^5+x^6 \\ f_{(4,6,6)}(x) &= x^6 \\ f_{(4,6,7)}(x) &= 0. }$$

それらを上げ式のように電源（2 ）生成します$n=4$$(2)$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10}+ \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} +x^{24}\\ f_{(4,6,6)}(x)^4 &= x^{24}\\ f_{(4,6,7)}(x)^4 &= 0 }$$

式における連続した違いは$(3)$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 - f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 12 x^{18} + 4x^{19} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 - f_{(4,6,3)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10} + \cdots + 4 x^{20} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 - f_{(4,6,6)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} \\ f_{(4,6,6)}(x)^4 - f_{(4,6,7)}(x)^4 &= x^{24}. }$$

式の結果の合計は$(4)$

$$6^{-4}\left(x^3 + 4x^4 + 10x^5 + 21x^6 + 38x^7 + 62x^8 + 91x^9 + 122x^{10} + 148x^{11} + \\167x^{12} + 172x^{13} + 160x^{14} + 131x^{15} + 94x^{16} + 54x^{17} + 21x^{18}\right).$$

例えば、上部に3つのサイコロの合計可能性の係数であり、X 14は、に等しいです$14$$x^{14}$

$$6^{-4}\times 160 = 10/81 = 0.123\,456\,790\,123\,456\,\ldots.$$

それは質問で引用された確率と完全に一致しています。

ところで、平均（この結果から計算される）であると標準偏差である$15869/1296 \approx 12.244598765\ldots$。$\sqrt{13\,612\,487/1\,679\,616}\approx 2.8468444$

n = 4の代わりにダイスの同様の（最適化されていない）計算に0.5秒もかかりませんでした。分布の主要部分のプロットは次のとおりです。$n=400$$n=4$

最小ので、可能性が高いに等しいで1和Xは非常に近い通常有するであろう（400 × 7 / 2 、400 × 35 / 12 ）（その平均で分布1400及び標準偏差はおよそ34.1565を）、平均は1400 − 1 = 1399に極めて近く、標準偏差は34.16に極めて近くなければなりません。これはプロットをうまく説明しており、おそらく正しいことを示しています。実際、正確な計算は約の平均を与えます$K$$1$$X$$(400\times 7/2, 400\times 35/12)$$1400$$34.1565$$1400-1=1399$$34.16$が 1399より大きく、標準偏差が 1.24 × 10 − 31より小さい √より小さい$2.13\times 10^{-32}$$1399$$1.24\times 10^{-31}$。$\sqrt{400\times 35/12}$

編集：@SkySpiralは、以下の式を機能させるのに問題がありました。現在、私は問題が何であるかを解決する時間がないので、あなたがこれを読んでいるならば、それが間違っているという仮定の下で進めることが最善です。

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サイコロ、サイド、ドロップの数が変化するという一般的な問題についてはわかりませんが、ドロップ1の場合の効率的なアルゴリズムを見ることができると思います。修飾子は、それが正しいことを完全に確信しているわけではないということですが、現時点では欠陥は見られません。

サイコロを落とさないことから始めましょう。仮定を表し、N番目のダイ、及び仮定Yをn個の総和を表し、n個のサイコロを。それから$X_n$$n$$Y_n$$n$

$$p(Y_n = a) = \sum_k p(Y_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$$

ここで、が1つのダイスがドロップされたときのn個のダイスの合計であるとします。それから$Z_n$$n$

$$p(Z_n = a) = p(\text{$n$th die is the smallest})p(Y_{n-1} = a) + \\ p(\text{$n$th die is not the smallest})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$$

を最小のn個のダイの分布として定義すると、$M_n$$n$

$$p(Z_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(Y_{n-1} = a | X_n \leq M_{n-1}) + \\ p(X_n > M_{n-1})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k | X_n > M_{n-1})$$

を使用してを計算できます$M_n$

$$p(M_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(X_n = a |X_n \leq M_{n-1}) + p(X_n > M_{n-1})p(M_{n-1} = a|X_n > M_{n-1})$$

とにかく、これはすべて、およびM nに基づく動的プログラミングアルゴリズムを示唆しています。nは 2次でなければなりません。$Y_n, Z_n$$M_n$$n$

編集：コメントにはどのように計算するのに提起された。以来X nは、M のn - 1は、それぞれ6つの値のいずれかにだけ取ることができ、私たちはあらゆる可能性を超える合計することができます：$p(X_n \leq M_{n-1})$$X_n, M_{n-1}$

$$p(X_n \leq M_{n-1}) = \sum_{a,b} p(X_n = a, M_{n-1} = b, a \leq b)$$

同様に、は、ベイズ規則を適用し、X nの可能な値、M n − 1を合計することで計算できます。$p(X_n = k | X_n > M_{n-1})$$X_n, M_{n-1}$

これには合理的な効率のアルゴリズムがあり、テストでは、すべての可能性を列挙することにあまり依存せずに、純粋なブルートフォースの結果と一致するようです。実際には、上記の4d6のドロップ1よりも一般化されています。

$X_NdY$$X$$Y$$1$$Y$$N$$4_3d6$$3, 4, 5$$1, 3, 4, 5$4つのサイコロで。（私はそれを「シーケンス」と呼んでいますが、ここで順序は重要ではありません。特に最後に気にするのはシーケンスの合計ですから）

$P(X_NdY = S)$ (or more specifically, $P(4_3d6 = S)$) is a simplified version of the original problem, where we are only considering a specific set of dice, and not all possible sets that add up to a given sum.

Suppose $S$ has $k$ distinct values, $s_0, s_1, ..., s_k$, such that $s_i > s_{i+1}$, and each $s_i$ has a count of $c_i$. For example, if $S = 3, 4, 4, 5$, then $(s_0,c_0) = (5,1)$, $(s_1,c_1) = (4,2)$, and $(s_2,c_2) = (3,1)$.

You can calculate $P(X_NdY = S)$ in the following way:

$$P(X_NdY = S) = \frac{ \left( \prod_{i=0}^{k-1} {X - \sum_{h=0}^{i-1} c_h \choose c_i} \right) \left( \sum_{j=0}^{X-N} { c_k+X-N \choose c_k+X-N-j} (s_k-1)^j \right)}{ Y^X }$$

That's pretty messy, I know.

The product expression $\prod_{i=0}^{k-1}$ is iterating through all but the lowest of the values in $S$, and calculating all the ways those values may be distributed among the dice. For $s_0$, that's just $X \choose c_i$, but for $s_1$, we have to remove the $c_0$ dice that have already been set aside for $s_0$, and likewise for $s_i$ you must remove $\sum_{h=0}^{i-1}c_h$.

The sum expression $\sum_{j=0}^{X-N}$ is iterating through all the possibilities of how many of the dropped dice were equal to $s_k$, since that affects the possible combinations for the un-dropped dice with $s_k$ as their value.

By example, let's consider $P[4_3d6=(5,4,4)]$:

$$(s_1, c_1) = (5, 1)$$ $$(s_2, c_2) = (4, 2)$$

So using the formula above:

$$P[4_3d6=(5,4,4)] \\ = \frac{ {4 \choose 1} \left( {3 \choose 3} \cdot 3^0 + {3 \choose 2} \cdot 3^1 \right) }{ 6^4 } \\ = \frac{5}{162} = 0.0\overline{308641975}$$

The formula breaks down on a domain issue when $s_k=1$ and $j=0$ in the summation, leading to a first term of $0^0$, which is indeterminate and needs to be treated as $1$. In such a case, a summation is not actually necessary at all, and can be omitted, since all the dropped dice will also have a value of $s_k = 1$.

Now here's where I do need to rely on some brute force. The original problem was to calculate the probability of the sum being some value, and $X_NdY$ represents the individual dice left after dropping. This means you must add up the probabilities for all possible sequences $S$ (ignoring ordering) whose sum is the given value. Perhaps there is a formula to calculate this across all such values of $S$ at once, but I haven't even tried broaching that yet.

I've implemented this in Python first, and the above is an attempt to express it mathematically. My Python algorithm is accurate and reasonably efficient. There are some optimizations that could be made for the case of calculating the entire distribution of $\sum X_NdY$, and maybe I'll do that later.