多変量ガウス分布から値を生成する

現在、平均ベクトルと共分散行列多変量正規分布を持つ次元のランダム変数値をシミュレートしようとしています。 $N$ $X$ $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ $S$

逆CDF法に似た手順を使用したいと考えています。つまり、最初に $N$ 次元の一様なランダム変数 $U$ を生成し、次にこの分布の逆CDFにプラグインして、値を生成します $X$ 。

手順が十分に文書化されておらず、MATLABのmvnrnd関数とウィキペディアで見つけた説明にわずかな違いがあるため、問題が発生しています。

私の場合、分布のパラメーターもランダムに選択しています。特に、平均分布 $\mu_i$ 一様分布 $U(20,40)$ ます。次に、次の手順を使用して共分散行列 $S$ を作成します。

下三角行列作成ための及びのために $L$ $L(i,i) = 1$ $i=1..N$ $L(i,j) = U(-1,1)$ $i < j$
してみましょうの転置表す。 $S = LL^T$ $L^T$ $L$

この手順により、 $S$ が対称かつ正定であることを確認できます。また、になるように下三角行列提供します。これは、分布から値を生成するために必要だと思います。 $L$ $S = LL^T$

ウィキペディアのガイドラインを使用すると、次のように次元のユニフォームを使用して値を生成できるはずです。 $X$ $N$

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

ただし、MATLAB関数によると、これは通常次のように行われます。

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

ここで $\Phi^{-1}$ の逆CDFである $N$ 次元、分離、正規分布は、両方の方法の唯一の違いは、単に使用するかどうかである $L$ 又は $L^T$ 。

MATLABまたはWikipediaを使用する方法はありますか？それとも両方とも間違っていますか？

— バーク・U
ソース

前述のとおり、は行ベクトルであり、は列ベクトルでなければならないため、両方とも間違っています。あなたは、行と列まっすぐを取得すると、この質問は、単に、どのバージョンの識別することによって自分自身に答える必要がありますまたは提供しますマトリックスとどのバージョンが単に数値を与えるか：マトリックスバージョンの期待値を計算でき、それがを与えることを確認してください。

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$

S

$S$

— whuber

@whuberうん。質問のフォーマットを変更しました。先端をありがとう-間違いなくチェックする最も簡単な方法。

— バーク

場合標準正規RVのの列ベクトルで設定した場合、、共分散のである。 $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

あなたが抱えている問題は、平均を列ベクトルとして指定しても、matlabのmvnrnd関数が行ベクトルをサンプルとして返すという事実から生じる可能性があると思います。例えば、

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

また、行ベクトルを変換すると、逆の式が得られることに注意してください。場合行ベクトルであり、その後、、また、行ベクトルであるので、列ベクトルとの共分散であり、を書き込むことができる。 $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

あなたが書いたものに基づいて、ウィキペディアの式は正しいです：がmatlabによって返される行ベクトルである場合、で左乗算することはできません。（ただし、右乗算すると、同じ共分散サンプルが得られます）。 $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— ジピロー
ソース

matlabのmvnrndのヘルプでは、サンプル数としてを使用していることに注意してください。次元数はです。したがって、次元の多変量正規分布からサンプルを要求すると、それらは行列として返されます。

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow