分位点回帰におけるR二乗

変位値回帰を使用して、データの90パーセンタイルの予測変数を見つけています。これをRでquantregパッケージを使用して行っています。予測変数によってどの程度の変動が説明されているかを示す変位値回帰のを決定するにはどうすればよいですか？$r^2$

私が本当に知りたいこと：「どの程度の変動性が説明されているかを見つけるために使用できる方法は？」P値による有意水準は、コマンドの出力で使用可能です：summary(rq(formula,tau,data))。どうすればフィット感を得ることができますか？

KoenkerとMachadoは、特定の（）分位点での適合度の局所的な尺度であるについて説明しています。 R 1$^{[1]}$$R^1$$\tau$

LET$V(\tau) = \min_{b}\sum \rho_\tau(y_i-x_i'b)$

ましょう及びフルモデルの係数の推定値、および制限モデルで、およびletと BE対応する用語。$\hat{\beta}(\tau)$$\tilde{\beta}(\tau)$$\hat{V}$$\tilde{V}$$V$

それらは、適合度基準を定義します。$R^1(\tau) = 1-\frac{\hat{V}}{\tilde{V} }$

Koenkerはここでコードを提供します、$V$

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
V <- sum(rho(f$resid, f$tau))

我々計算あれば切片のみ内蔵モデル（ -またはコードスニペットに以下）、次いで無制限モデル（）、我々は計算することができる少なくとも概念的-だということを-通常の多少似ています。$V$$\tilde{V}$V0$\hat{V}$R1 <- 1-Vhat/V0$R^2$

編集：もちろん、f$tauコードの2行目の呼び出しのどこに配置される2番目の引数は、tau使用した値のいずれかになります。最初の行の値は、単にデフォルトを設定するだけです。

「平均に関する分散の説明」は、分位点回帰で行っていることではないため、実際に同等の測定値を期待するべきではありません。

概念が変位値回帰にうまく変換するとは思わない。ここに示すように、さまざまな多かれ少なかれ類似した量を定義できますが、何を選択しても、実際のがOLS回帰で持つプロパティのほとんどはありません。必要なプロパティと不要なプロパティについて明確にする必要があります-場合によっては、必要なことを実行するメジャーを持つことができる場合があります。R $R^2$$R^2$

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$[1]$ Koenker、R and Machado、J（1999）、
適合度および関連する推論プロセスの分位点回帰、
Journal of the American Statistical Association、94：448、1296-1310

JASAのKoenker and Machado（1999）によって提案された擬似尺度は、対象モデルの加重偏差の合計を、切片のみが現れるモデルからの同じ合計と比較することにより適合度を測定します。として計算されます$R^2$

$$R_1(\tau) = 1 - \frac{\sum_{y_i \ge \hat y_i} \tau \cdot \vert y_i-\hat y_i \vert +\sum_{y_i<\hat y_i} (1-\tau) \cdot \vert y_i-\hat y_i \vert}{\sum_{y_i \ge \bar y} \tau \cdot \vert y_i-\bar y \vert +\sum_{y_i<\bar y_i} (1-\tau) \cdot \vert y_i-\bar y \vert},$$

ここで、は観測値近似番目の分位数で、は切片のみからの近似値ですモデル。τI ˉ Y =β$\hat y_i =\alpha_{\tau}+\beta_{\tau}x$$\tau$$i$$\bar y=\beta_{\tau}$

[ 0 、1 ] τ R $R_1(\tau)$はにある必要があります。1は、偏差の加重和で構成される分子がゼロになるため、完全な適合に対応します。またローカルそれが依存するためQRMのための適合性の尺度グローバルとは異なり、 OLSから。それは間違いなく、それを使用することに関する警告の原因です。モデルがテールに収まる場合、それが他の場所にうまく収まるという保証はありません。このアプローチは、ネストされたモデルを比較するためにも使用できます。$[0,1]$$\tau$$R^2$

Rの例を次に示します。

library(quantreg)
data(engel)

fit0 <- rq(foodexp~1,tau=0.9,data=engel)
fit1 <- rq(foodexp~income,tau=0.9,data=engel)

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
R1 <- 1 - fit1$rho/fit0$rho

これはおそらくもっとエレガントに達成できるでしょう。