モーメント法の背後にあるロジックは何ですか？

「モーメント法」では、ポイント推定量を見つけるためにサンプルモーメントを母集団モーメントと同一視するのはなぜですか。

この背後にあるロジックはどこにありますか？

同一かつ独立して分布するランダム変数からの実現からなるサンプルはエルゴード的です。そのような場合、「サンプルモーメント」は、理論モーメントが存在し、有限である場合、共通分布の理論モーメントの一貫した推定量です。 $n$

この意味は

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$$

したがって、理論モーメントを対応するサンプルモーメントと同等にすることにより、

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$$

したがって（は依存しません）$\mu_k$$n$

$$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$$

$$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$$

未知のパラメーターに対して一貫した推定量を取得するため、これを行います。

計量経済学者はこれを「類推原理」と呼びます。人口分布に関する期待値として人口平均を計算します。サンプル分布に関する予測値として推定量を計算すると、サンプル平均になります。統一式 があり、そこに母集団いずれか、たとえばまたはサンプルなので、はデルタの束です関数、およびに関する（ルベーグ）積分F （X ）F （X ）= ∫ X ∞

$$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$$ $F(x)$F n（x ）= $F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$DFN（X）DFN（X）$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$${\rm d}F_n(x)$${\rm d}F_n(x)$サンプルの合計です。関数が（弱く）微分可能であり、が適切な意味でに収束する場合、推定値が一貫していることを確立するのは簡単ですが、もちろんより多くのhooplaが必要です漸近正規性を取得します。$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$$T(\cdot)$$F_n(x)$$F(x)$