glmnet ridge回帰が手動計算とは異なる答えを与えるのはなぜですか？

glmnetを使用して、リッジ回帰推定値を計算しています。glmnetが本当に思っていることを実際に行っているという点で、私は疑わしい結果になりました。これを確認するために、簡単なRスクリプトを作成し、solveとglmnetで行われたリッジ回帰の結果を比較しました。違いは重要です。

n    <- 1000
p.   <-  100
X.   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

beta1 <- solve(t(X)%*%X+5*diag(p),t(X)%*%Y)
beta2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, lambda=10, intercept=FALSE, standardize=FALSE, 
                family="gaussian")$beta@x
beta1-beta2

違いの標準は通常20前後であり、これは数値的に異なるアルゴリズムが原因ではないため、何か間違ったことをしているに違いありません。glmnetridgeと同じ結果を得るために設定する必要がある設定は何ですか？

観察している違いは、以下に示すように、GLMNETが目的関数で使用する観測数Nによる追加の除算と、サンプル標準偏差によるYの暗黙的な標準化によるものです。

$$\frac{1}{2N}\left\|\frac{y}{s_y}-X\beta\right\|^2_{2}+\lambda\|\beta\|^2_{2}/2$$

ここで、s yの1 /（n − 1 ）の代わりにを使用します$1/n$$1/(n-1)$$s_y$、

$$s_y=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})^2}{n}$$

ベータに関して微分することにより、方程式をゼロに設定して、

$$X^TX\beta-\frac{X^Ty}{s_y}+N\lambda\beta =0$$

そして、ベータを解いて、推定値を取得します。

$$\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}\frac{X^Ty}{s_y}$$

Yの元のメトリックの推定値（および対応するペナルティ）を回復するために、GLMNETは推定値とラムダの両方にを乗算し、これらの結果をユーザーに返します。$s_y$

λ uのN 、S 、T 、D 。= s

$$\hat{\beta}_{GLMNET}=s_y\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$ $$\lambda_{unstd.}=s_y\lambda$$

このソリューションをリッジ回帰の標準的な導出と比較してください。

$$\hat{\beta}= (X^TX+\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$

はNの余分な係数でスケーリングされることに注意してください。さらに、or 関数を使用すると、ペナルティは暗黙的に1 / s yでスケーリングされます。つまり、これらの関数を使用していくつかのλ ∗の係数推定値を取得する場合、λ = λ ∗ / s yの推定値を効果的に取得しています。$\lambda$predict()coef()$1/s_y$$\lambda^*$$\lambda=\lambda^*/s_y$

これらの観察に基づいて、GLMNETで使用されるペナルティは、s y / N の係数でスケーリングする必要があります。$s_y/N$。

set.seed(123)

n    <- 1000
p   <-  100
X   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

beta1 <- solve(t(X)%*%X+10*diag(p),t(X)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

           [,1]        [,2]
[1,]  0.23793862  0.23793862
[2,]  1.81859695  1.81859695
[3,] -0.06000195 -0.06000195
[4,] -0.04958695 -0.04958695
[5,]  0.41870613  0.41870613
[6,]  1.30244151  1.30244151
[7,]  0.06566168  0.06566168
[8,]  0.44634038  0.44634038
[9,]  0.86477108  0.86477108
[10,] -2.47535340 -2.47535340

結果は、インターセプトと標準化されたX変数の包含に一般化されます。標準化されたX行列を変更して、1の列と対角行列を追加し、[1,1]位置に追加のゼロエントリを追加します（つまり、切片にペナルティを課しません）。その後、それぞれのサンプル標準偏差によって推定値を標準化解除できます（標準偏差の計算時に1 / nを使用していることを確認してください）。

$$\hat\beta_{j}=\frac{\tilde{\beta_j}}{s_{x_j}}$$

$$\hat\beta_{0}=\tilde{\beta_0}-\bar{x}^T\hat{\beta}$$

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)
X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}
X_scaled_ones <- cbind(rep(1,n), X_scaled)

beta3 <- solve(t(X_scaled_ones)%*%X_scaled_ones+1000*diag(x = c(0, rep(1,p))),t(X_scaled_ones)%*%(Y))[,1]
beta3 <- c(beta3[1] - crossprod(mean_x,beta3[-1]/sd_x), beta3[-1]/sd_x)

fit_glmnet2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, thresh = 1e-20)
beta4 <- as.vector(coef(fit_glmnet2, s = sd_y*1000/n, exact = TRUE))

cbind(beta3[1:10], beta4[1:10])
             [,1]        [,2]
 [1,]  0.24534485  0.24534485
 [2,]  0.17661130  0.17661130
 [3,]  0.86993230  0.86993230
 [4,] -0.12449217 -0.12449217
 [5,] -0.06410361 -0.06410361
 [6,]  0.17568987  0.17568987
 [7,]  0.59773230  0.59773230
 [8,]  0.06594704  0.06594704
 [9,]  0.22860655  0.22860655
[10,]  0.33254206  0.33254206

インターセプトなしで標準化されたXを表示するコードを追加しました。

set.seed(123)

n <- 1000
p <-  100
X <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)

X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}

beta1 <- solve(t(X_scaled)%*%X_scaled+10*diag(p),t(X_scaled)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X_scaled,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = 
FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

             [,1]        [,2]
 [1,]  0.23560948  0.23560948
 [2,]  1.83469846  1.83469846
 [3,] -0.05827086 -0.05827086
 [4,] -0.04927314 -0.04927314
 [5,]  0.41871870  0.41871870
 [6,]  1.28969361  1.28969361
 [7,]  0.06552927  0.06552927
 [8,]  0.44576008  0.44576008
 [9,]  0.90156795  0.90156795
[10,] -2.43163420 -2.43163420

https://web.stanford.edu/~hastie/glmnet/glmnet_alpha.htmlによるとgaussianglmnet()

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda\sum_{j=1}^p(\alpha|\beta_j| +(1-\alpha)\beta_j^2/2). \tag{1}$$

glmnet(x, y, alpha=1)$x$$\lambda$

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \sum_{j=1}^p |\beta_j|.$$ glmnet_2.0-13glmnet(x, y, alpha=0)$\lambda$ $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \frac{1}{2s_y} \sum_{j=1}^p \beta_j^2.$$ $s_y$$y$$\lambda/s_y$

何が起こるかは、関数が最初に標準化することです$y$$y_0$

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_{0i}-x_i^T\gamma)^2 +\eta \sum_{j=1}^p(\alpha|\gamma_j| +(1-\alpha)\gamma_j^2/2), \tag{2}$$ which effectively is to minimize $$\frac{1}{2n s_y^2} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta \frac{\alpha}{s_y} \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta \frac{1-\alpha}{2s_y^2} \sum_{j=1}^p \beta_j^2,$$ or equivalently, to minimize $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta s_y \alpha \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta (1-\alpha) \sum_{j=1}^p \beta_j^2/2.$$

For the lasso ($\alpha=1$), scaling $\eta$ back to report the penalty as $\eta s_y$ makes sense. Then for all $\alpha$, $\eta s_y$ has to be reported as the penalty to maintain continuity of the results across $\alpha$. This probably is the cause of the problem above. This is partly due to using (2) to solve (1). Only when $\alpha=0$ or $\alpha=1$ there is some equivalence between problems (1) and (2) (i.e., a correspondence between the $\lambda$ in (1) and the $\eta$ in (2)). For any other $\alpha\in(0,1)$, problems (1) and (2) are two different optimization problems, and there is no one-to-one correspondence between the $\lambda$ in (1) and the $\eta$ in (2).