データのCDFを別のCDFとクロスさせることはできますか

正の実数XとYの2つのデータセットがあり、どちらも同じサイズで、各行が0 <= Y <= Xであるとします。Xの経験的CDFがYの経験的CDFと交差することはありますか？

経験的累積分布関数はで以下のサンプルの割合である、T。$\hat{F}(t)$$t$

を増やして行を並べ替えることを検討してください（固定値yの場合は、xを増やして並べ替えます）。$y$$y$$x$

次に、そのような行（行など）ごとに、各cdfの高さはi / n *で、xサンプルの対応する横座標は常にyサンプルの横座標の右側にあります。ステップ関数は一致する可能性がありますが、xサンプルのecdfがyサンプルのecdfの上/左になることはありません。$i$$i/n$

実際、ecdf内のすべての垂直ジャンプを「プロット上で描く」ことを想像してください。次に、ある値でプロットを横切って描かれた水平線は、サンプル値を順番にリストする表に表示される特定の値yおよびxでecdfステップを打ちます（実際、特定のFの値に対して、それは簡単ですそれがされる行うまく†常に有している）、Y I ≤ X のI。$F$$y$$x$$F$$^\dagger$$y_i\leq x_i$

*（値が重複している場合は少し複雑になりますが、実質的に引数を変更する方法ではありません）

$\dagger$$F\approx 0.481$$t_y=194.4503$$t_x=200.0431$

Glen_bの答えは正しいですが、これを実証するもっと簡単な方法があると思います。

$x$$x$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$y_1, y_2, \ldots, y_n$$y_i \ge x_i$$i$

$y_1$$x_1$$y_1$$x_1$$\frac{1}{n}$$\frac{1}{n}$$y_i > x_i$$Y$$X$

$Y$$X$$Y$$X$

上記の内容を形式化してください。

$F_X$$F_Y$

$F_X(x) = \frac{1}{n} \sum_{x_i} I(x_i \leq x)$$F_Y(x) = \frac{1}{n} \sum_{y_i} I(y_i \leq x)$

$x$$I(x_i \leq x) \leq I(y_i \leq x)$$x$$(x_i, y_i)$$y_i > x_i$

$F_X(x) \leq F_Y(x)$$x$

注：このデモには、データポイントの数が有限であるという暗黙の前提があります。同じサイズ（すなわち、カーディナリティー）の無限のデータ・セットを持つことは可能だと思います。私は結果が保持されることをかなり確信していますが、そのような結果の証明についてははるかに確実ではありません。