逆独立変数による回帰

のは、私が持っているとしましょう -ベクトル従属変数のを、および -ベクトルの独立変数の。場合プロットされている、私は2つの間の直線関係（上昇傾向）があることがわかります。これは、と間に線形の下降傾向があることも意味します。Y N X Y $N$$Y$$N$$X$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

ここで、回帰を実行した場合： と近似値を得ますY = β$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

次に、回帰を実行します：とフィッティングされた値 〜Y = α$Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

2つの予測値、とはほぼ等しくなりますか？ 〜$\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Yをに対してプロットすると、2つの間に線形関係（上昇傾向）があることがわかります。さて、これはYとXの間に線形の下降傾向があることも意味します$\frac{1}{X}$

最後の文は間違っています。下降傾向がありますが、決して直線的ではありません。

関数と少しのノイズとしてを使用しました。あなたが見ることができるように、プロットしながら、反対線形挙動をもたらし、に対する遠い線形からです。 YY$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

（ポイント@whuberているに対してプロット等分散を見ていない。私は低いために高い分散を有するように見えると思う本質的であるため、非常に高い場合の密度のリードより広い範囲に私たち知覚。実際には、データは均一である：私はデータを生成するために使用したので、のサイズに依存しない。）$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

したがって、一般に、関係は非常に非線形です。つまり、範囲が近似できるほど狭い場合を除きます次に例を示します。d $X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

ボトムライン：

• 一般に、タイプの関数を線形関数または多項式関数で近似することは非常に困難 です。そして、オフセット項がないと、妥当な近似値が得られません。$\frac{1}{X}$
• 間隔が線形近似を可能にするのに十分に狭い場合、データから関係が線形（）ではなくことを推測することができなくなります。$X$$\frac{1}{X}$$X$

それらが一般に「ほぼ等しい」である理由はわかりません-しかし、ほぼ等しいとはどういう意味ですか？

これはおもちゃの例です：

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

絵：

「青」モデルは、切片（つまり、定数）項を持つことが許可されている場合、はるかに優れています...